Доказать что к^4-k^2 кратно 12 при всех натуральных к

K^4-k^2 кратно 12 (1)

Ш.И.(Шаг индукции) Проверим верно ли (1), при k=1:

1^4-1^2=0 => 0кратно12(верно)

П.И.(Предположение индукции) Предположим, что (1) верно, при k=n, т.е.

n^4-n^2 кратно12=> n^2(n^2-1)кратно12

Б.И. Докажем, что (1) верно, при k=n+1:

(n+1)^4-(n+1)^2=(n+1)^2((n+1)^2-1)=(n+1)^2(n+1+1)(n+1-1)=(n+1)^2(n+2)n=

=(n^2+2n+1)(n^2+2n)=n^4+2n^3+2n^3+4n^2+n^2+2n=n^2(n^2+4n+5)+2n=

=n^2(n^2+4n+6-1)+2n=n^2(n^2-1)+n^2(4n+6)+2n=n2(n^2-1)+4n^3+6n^2+2n=

=n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1), т.к. n^2(n^2-1)кратно12 по П.И., то по св-ву делимости №2, необходимо док-ть, что 2n(2n^2+3n+1)кратно12(2)

Ш.И. Проверим верно ли (2), при n=1:

2(2+3+1)=12=> 12кратно12(верно)

П.И. Предположим, что (2) верно, при n=r, т.е.

2r(2r^2+2r+1)кратно12

Б.И. Докажем, что (2) верно при n=r+1:

2(r+1)(2(r+1)^2+3(r+1)+1)=(2r+2)((r+1)(2(r+1)+3)+1)=

=(2r+2)((r+1)(2r+5)+1)=(2r+2)(2r^2+5r+2r+6)=(2r+2)(2r^2+7r+6)=

=4r^3+14r^2+12r+4r^2+14r+12=4r^3+6r^2+8r^2+2r+10r+4r^2+14r+12=

=2r(2r^2+3r+1)+12r^2+24r+12=2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1), т.к.

2r(2r^2+3r+1)кратно12 по П.И., а 12(r^2+2r+1)кратно12, т.к. 12кратно12 и (r^2+2r+1)принадлежит множеству натуральных чисел(т.е. по св-ву делимости№7)=>по св-ву делимости№2 (2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1))кратно12=> 2n(2n^2+3n+1)кратно12 (исходя из метода математической индукции)=>

=>( n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1))кратно12 по св-ву делимости№2=>

=>k^4-k^2кратно12(исходя из метода математической индукции) ч.т.д.

Св-во делимости№2: Если a кратно b и c кратно b, то (a+c)кратно b.

Св-во делимости№7:Если a кратно b и c – любое натуральное число, то ac кратно b.