1. Докажите, что отношение изоморфизма линейных пространств над одним и тем же полем является отношением эквивалентности. 2. Докажите, что если два линейных пространства L и L' изоморфны, то произвольной линейной комбинации векторов пространства L соответствует такая же линейная комбинация соответствующих векторов пространства L'.
Возьмем простейшее иррациональное число √2 и соответсвенно -√2
сложим √2 + (-√2) = √2 - √2 = 0
0 число рациональное . Тем самым мы нашли два иррациональных числа, которые при сложении дают рациональное число
Так же доказывается незамкнутость иррациональных чисел при
1. разности 1+√3 и √3 равна 1
2. произведении √2 и 2√2 равно 4
3. делении 2√2 и √2 равно 2
Докажем что √2 иррациональное число
Предположим что оно рациональное то есть его можно представить в виде несократимой дроби √2=a/b где a , целые и взаимнопросты (в противном случае они бы сократились) замечаем что a b оба не четные (если бы были оба четными то сократились на 2)
Возводим в квадрат 2=a²/b² 2b²=a² замечаем что число 2b² четное, значит и a² тоже четное. заменяем a=2c и подставляем в 2b²=(2c)²=4c²
b²=2c² получили что и b четное. То есть a b четные и их можно сократить, но мы предполагали что они взаимнопросты, и тем самым допустили противоречие. Значит √2 нельзя представить в виде дроби и оно иррациональное число
Понятно, что a>=0.
Левая часть переписывается как |x|^2 - 8|x| + 12, поэтому если x=b корень уравнения, то и x=-b - корень.
Так как уравнение должно иметь 6 корней, то возможен только такой случай: уравнение имеет ровно 3 положительных корня.
Таким образом, уравнение |x^2-8x+12| = a должно иметь ровно 3 положительных корня. Но это уравнение можно записать как совокупность двух уравнений:
[ x^2-8x+(12-a)=0, x^2-8x+(12+a)=0 ]
Заметим, что по теореме Виета если второе уравнение имеет корни, то все они положительны (т.к. сумма корней 8, а произведение положительно и равно 12+a).
1 случай. Второе уравнение имеет 1 корень, а первое уравнение - 2 положительных корня.
Несложно убедиться, что первое условие выполняется только при a=4. Подставим в первое уравнение а=4:
x^2-8x+8=0
D/4=16-8=8>0
уравнение имеет 2 корня, а из теоремы Виета следует, что эти корни положительны.
Итак, при a=4 уравнение имеет нужное число корней.
2 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое имеет корни разных знаков.
Для того, чтобы узнать, когда выполняется первое условие, вычислим дискриминант:
D/4=16-12-a=4-a>0, откуда a<4.
Для того, чтобы выполнялось второе условие, нужно чтобы 1) корни были и 2) ихз произведение было отрицательно.
D/4=16-12+a=4+a>0 - верно для всех а>0
12-a<0, откуда a>12.
Очевидно, такой случай невозможен.
3 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое - один корень, который положителен.
Понятно, что у первого уравнения 1 корень будет только при a=-4, но a>0. Противоречие.
Итак, уравнение имеет 6 корней только при a=4, это число и идет в ответ.
P.S. Традиционный решения таких задач - графический. Для того, чтобы понять, сколько корней имеет уравнение f(x)=a, нужно всего лишь построить график y=f(x), а затем смотреть, при каких a прмая y=a пересекает график в нужном количестве точек. График |x^2-8|x|+12|=y см. во вложении. Как правило, такой приводит к ответу быстрее, чем аналитическое решение.