Решение: Обозначим первоначальную скорость автобуса за V км/час (учитывая, что с этой скоростью автобус бы проехал всё расстояние, т.е. 260км), тогда запланированное время в пути составило бы: t=260/V (1) Первые 2 часа автобус проехал расстояние 2*V=2V (км) Следующее время в пути составило: t-2-0,5=t-2,5 (час) со скоростью: (V+5)км/час и проехал расстояние: (t-2,5)*(V+5) (км) И так как расстояние между городами составило 260км, то: 2V+(t-2,5)*(V+5)=260 (1) Подставим во второе уравнение первое выражение t=260/V 2V+(260/V-2,5)*(V+5)=260 2V+(260/V-V*2,5/V)*(V+5)=260 2V^2+260V-2,5V^2+1300-12,5V=260V -0,5V^2-12,5V+1300=0 умножим каждый член уравнения на (-2), получим: V^2+25V-2600=0 V1,2=(-25+-D)/2*1 D=√(625-4*1*-2600)=√(625+10400)=√11025=105 V1,2=(-25+-105)/2 V1=(-25+105)/2 V1=80/2 V1=40 ((км/час) - первоначальная скорость автобуса V2=(-25-105)/2 V2=-130/2 V2=-65 - не соответствует условию задачи
Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2. 1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет. 2-Выяснить является ли чётной или нечётной. Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x² - Нет -f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x² - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 3-определить точки пересечения функции с координатными осями . График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (-1/3)x³+ x² = 0. -x³ + 3x² = 0. -x²(x-3) = 0. Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2. y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0) 4-найти критические точки функции. Находим производную и приравниваем её нулю: y' = -x²+2x = -x(x-2). Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2. 5-определить промежутки монотонности (возрастания,убывания). Исследуем поведение производной вблизи критических точек. х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25 Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает. Возрастает на промежутке [0, 2] Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo) 6-определить точки экстремума. Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2. Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции. Минимум функции в точке: x = 0, Максимум функции в точке: х = 2. 7 -определить максимальное и минимальное значение функции. Значения функции в экстремальных точках: х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3, х = 0, у = 0. 8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1 Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (-oo, 1] Выпуклая на промежутках [1, oo)
Обозначим первоначальную скорость автобуса за V км/час (учитывая, что с этой скоростью автобус бы проехал всё расстояние, т.е. 260км), тогда запланированное время в пути составило бы:
t=260/V (1)
Первые 2 часа автобус проехал расстояние 2*V=2V (км)
Следующее время в пути составило:
t-2-0,5=t-2,5 (час) со скоростью: (V+5)км/час и проехал расстояние:
(t-2,5)*(V+5) (км)
И так как расстояние между городами составило 260км, то:
2V+(t-2,5)*(V+5)=260 (1)
Подставим во второе уравнение первое выражение t=260/V
2V+(260/V-2,5)*(V+5)=260
2V+(260/V-V*2,5/V)*(V+5)=260
2V^2+260V-2,5V^2+1300-12,5V=260V
-0,5V^2-12,5V+1300=0 умножим каждый член уравнения на (-2), получим:
V^2+25V-2600=0
V1,2=(-25+-D)/2*1
D=√(625-4*1*-2600)=√(625+10400)=√11025=105
V1,2=(-25+-105)/2
V1=(-25+105)/2
V1=80/2
V1=40 ((км/час) - первоначальная скорость автобуса
V2=(-25-105)/2
V2=-130/2
V2=-65 - не соответствует условию задачи
ответ: Первоначальная скорость автобуса 40км/час
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x²
- Нет
-f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x²
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(-1/3)x³+ x² = 0.
-x³ + 3x² = 0.
-x²(x-3) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2.
y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0)
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = -x²+2x = -x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
5-определить промежутки монотонности
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Возрастает на промежутке
[0, 2]
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 0,
Максимум функции в точке: х = 2.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3,
х = 0, у = 0.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]
Выпуклая на промежутках
[1, oo)