1. Какие из приведённых ниже утверждений верны? Не забудьте обосновать свой ответ.
а) Существует неполное квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 4.
б) Если дискриминант квадратного уравнения равен 16, то оно имеет два корня.
в) Если квадратное уравнение имеет только один корень, то его дискриминант равен 0.
г) Существует квадратное уравнение, имеющее корни 2 и (−4).
д) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты положительны, дискриминант положителен и оба корня положительны.
е) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты отрицательны,
дискриминант положителен и оба корня отрицательны.
ж) Если уравнение имеет один корень, то оно линейное.
з) Если уравнение имеет два корня, то оно квадратное.
и) Если уравнение имеет три корня, то оно не квадратное.
2. Не вычисляя корней 1, 2 уравнения 2 −4−3 = 0, найдите значения выражений:
а) 1 + 2;
б) 12;
в) 122 + 221;
г) 12+ 22;
д) 13 + 23;
е) (1 − 2)2;
ж) х1/х2 +х2/х1;
з) |1 − 2|.
Первой скобке видим квадрат суммы, который сворачиваем по формуле сокращенного умножение
x * (x + 2)² = 3 * (x + 2)
x * (x + 2)² - 3 * (x + 2) = 0
(x + 2) * (x * (x + 2) - 3) = 0
(x + 2) * (x² + 2x - 3) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
1) x + 2 = 0
x₁ = -2
2) x² + 2x - 3 = 0
D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒уравнение имеет 2 корня
√D = 4
- 2 + 4
x₂ = = 2/2 = 1
2
-2 - 4
x₃= = -6/2 = -3
2
Проверка1
-2 * ((-2)² + 4 * (-2) + 4) = 3 * (-2 + 2)
-2 * (4 - 8 + 4) = 3 * 0
-2 * 0 = 0
0 = 0
Проверка2
1( 1^2+4*1+4)=3(1+2)
1+4+4 = 3*3
9 = 9
Проверка3
-3*( (-3)^2+4*(-3)+4)=3*(-3+2)
-3*(9-12+4) = 3*(-1)
-3*1 = -3
-3 = -3
В решении.
Объяснение:
№113
Является ли корнем уравнения х(х+4)=7?
Раскрыть скобки:
х²+4х-7=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac =16+28=44 √D= 2√11.
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-4-2√11)/2
х₁= -2- √11≈ -5,3
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-4+2√11)/2а
х₂= -2+√11≈1,3.
а) 1
б) -1
в) 6
г) -6
Если в условии нет ошибки, ни одно из этих значений не является корнем данного уравнения.
№114
Докажите, что каждое из чисел 7, -3 и 0 является корнем уравнения х(х+3)*(х-7)=0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, приравняем поочерёдно множители к нулю:
х₁=0;
х+3=0
х₂= -3;
х-7=0
х₃=7.
№115
Докажите что каждое из чисел 1,2 и -1,2 является корнем уравнения х²=1,44.
х=±√1,44
х₁= -1,2
х₂=1,2.
№116
Докажите что :
а) корнем уравнения 1,4*(у+5)=7+14у является любое число;
В условии неточность.
б) уравнения у-3=у не имеет корней:
у-у=3
0=3
Уравнение не имеет решения (т.е., корней)