1. На рисунке АО = СО и ВАО = DСО. Рис. 7

1) Докажите, что AОВ = DСО.

2) Найдите углы AОВ, если ОСD = 37°, ОDС = 63°, СОD = 80°.

2. Известно, что в треугольниках АВС и А1В1С1В = В1, АВ = А1В1 и ВС = В1С1. На сторонах АС и А1С1 отмечены точки D и D1, так что АD = А1D1. Докажите, что ВDС = В1D1С1

Используем то, что НОД(a,b)*НОК(a,b)=ab. Пусть НОД(a,b)=x. Тогда НОК(a,b)=ab/x. Подставим это в исходное выражение.
ab/x-x=ab/5
Умножим обе части на 5x.
5ab-5x²=abx
ab(5-x)=5x²
ab=(5x²)/(5-x)
Выражение справа должно быть положительным, поэтому 5-x>0. Переберем 4 варианта, чтобы выражение справа было целым.
1) x=1: (5*1²)/(5-1)=5/4 - не целое
2) x=2: (5*2²)/(5-2)=20/3 - не целое
3) x=3: (5*3²)/(5-3)=45/2 - не целое
4) x=4: (5*4²)/(5-4)=80 - подходит
Тогда НОК(a,b)=ab/x=80/4=20, НОД(a,b)=4.
Так как НОД(a,b)=4, то числа a и b представимы в виде 4a' и 4b', где НОД(a',b')=1.
ab=(4a')*(4b')=16*a'b'=80
a'b'=5.
Тогда возможно два варианта:
1) a'=1, b'=5.
a=1*4=4, b=5*4=20
2) a'=5, b'=1
a=5*4=20, b=1*4=4
ответ:(4;20), (20;4).

x³ + 7x² - x - 7 = 0
x²(x+7) - (x+7)=0
(x+7)(x²-1)=0
(x+7)(x-1)(x+1)=0
произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
x+7=0 ⇒ x=-7
x-1=0 ⇒ x=1
x+1=0 ⇒ x=-1
произведение корней 7

3x² + 4x - 12 = x³ 
x²(3-x) - 4(-x+3)=0
(3-x)(x²-4)=0
(3-x)(x-2)(x+2)=0
также приравниваем скобки к нулю, и получаем корни
x=3, x=2, x=-2
произведение -12

x³ + 5x² - 4x - 20 = 0
x²(x+5) - 4(x+5)=0
(x+5)(x²-4)=0
(x+5)(x+2)(x-2)=0
корни x=-5, x=-2, x=2
произведение 20

4x³ + 49x = 14x²
x(4x²+49-14x)=0
есть по крайней мере один корень х=0, поэтому произведение всех корней все-равно будет 0