1) Найти целые корни уравнения: х3-2х2-5х+6=0
2) Симметрическое уравнение:
х4-7х3-6х2-7х+1=0

В решении.

Объяснение:

1) Найти целые корни уравнения:

х³ - 2х² - 5х + 6 = 0

Корни кубического уравнения находятся в делителях свободного члена (6), это: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.

Подставляем значение х по очереди в уравнение:

х = 1        1 - 2 - 5 + 6 = 0, корень;

х = -1      -1 - 2 + 5 + 6 ≠ 0, не корень.

х = 2       8 - 8 - 10 + 6 ≠ 0, не корень.

х = -2     -8 - 8 + 10 + 6 = 0, корень;

х = 3      27 - 18 - 15 + 6 = 0, корень;

х = -3     -27 -18 + 15 + 6 ≠ 0, не корень.

В кубическом уравнении 3 корня, дальше можно не вычислять.

Решения уравнения: х₁ = 1;   х₂ = -2;    х₃ = 3.

2. Симметрическое уравнение:

х⁴ - 7х³ - 6х² - 7х + 1 = 0

1) Разделить уравнение на х²:

х² - 7х - 6 - 7/х + 1/х² = 0

2) Преобразовать получившееся уравнение:

(х² + 1/х²) + (-7х - 7/х) - 6 = 0

(х² + 1/х²) - 7 (х - 1/х) - 6 = 0

3) В первых скобках подготовить выделение полного квадрата:

(х² + 2 + 1/х² - 2) - 7(х - 1/х) - 6 = 0

4) В первых скобках выделить полный квадрат:

(х² + 2 + 1/х²) - 7(х - 1/х) - 6 - 2 = 0

(х + 1/х)² - 7(х + 1/х) - 8 = 0

5) Ввести новую переменную:

(х + 1/х) = у

у² - 7у - 8 = 0

6) Решить квадратное уравнение:

у² - 7у - 8 = 0

D=b²-4ac =49 + 32 = 81         √D=9

у₁=(-b-√D)/2a

у₁=(7-9)/2

у₁= -2/2

у₁= -1;                

у₂=(-b+√D)/2a  

у₂=(7+9)/2

у₂=16/2

у₂= 8;

7) Подставить значение у₁ и у₂ в выражение х + 1/х = у;

а) х + 1/х = -1

х² + 1 = -х

х² + х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 1 - 4 = -3        

D < 0, нет решения.

б) х + 1/х = 8

х² + 1 = 8х

х² - 8х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 64 - 4 = 60         √D=√4*15 = 2√15

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(8-2√15)/2

х₁=4-2√15;                

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(8+2√15)/2

х₂=4+√15.

Решения уравнения: х₁=4-2√15;    х₂=4+√15.