1. Прилад, що складається з n блоків виходить з ладу, якщо відмовляє один блок. Блоки працюють незалежно один від одного. Надійність кожного блоку p.
Обчислити надійність приладу.
2. В урні 4 червоних, 5 синіх, 6 зелених куль. Навмання беруть 3 кулі. Яка
ймовірність того, що вони будуть однакового кольору або мати різні кольори.
3. Система має два незалежно працюючих елемента. Імовірність їх відмови
дорівнює 0,05 та 0,08 відповідно. Знайти ймовірність відмови системи, якщо для
цього достатньо відмови хоча б одного з елементів.
4. У майстерні на верстатах А, В, С виробляють 25%, 35% та 40% усіх деталей,
причому вони мають 15%, 12% та 6% браку відповідно. Знайти ймовірність того, що
навмання взята деталь – бракована.
5. У першій урні 2 білих та 4 чорних кулі, а у другій урні – 3 білих та 1 чорна
кулі. Із першої урни переклали у другу одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля,
вийнята із другої урни після перекладання, буде білою.
6. У першому ящику 12 червоних та 6 білих куль. У другому – 15 червоних та
10 білих куль. Підкидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок кратна 3, то
навмання беруть кулю з першого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок,
то беруть кулю з другого ящика. Яка ймовірність узяти червону кулю?
7. Серед N екзаменаційних білетів є n “щасливих”. Студенти підходять за
білетом один за одним. У кого більша ймовірність витягнути “щасливий” білет – у
того, хто тягне першим, чи у того, хто тягне білет другим?
8. У трьох ящиках маємо однакові деталі з різних заводів: у першому – 20
стандартних та 5 нестандартних деталей; у другому – 15 стандартних та 3
нестандартних; у третьому – 14 стандартних та 2 нестандартних. Із навмання взятого
ящика навмання взята деталь, яка виявилася стандартною. Знайти ймовірність того,
що цю деталь взято з першого ящика.
9. У першій урні 10 куль, з них 8 білих. У другій урні 20 куль, з них 4 білих. Із
кожної урни навмання взято по одній кулі, а потім із двох обраних навмання взято
одну. Знайти імовірність того, що остання куля буде білою.
10. У першому ящику 8 білих та 6 чорних куль. У другому – 10 білих і 4
чорних. Навмання вибирають ящик і кулю. Відомо, що витягнута куля чорна. Знайти
ймовірність того, що було обрано другий ящик.
ДАНО: Y = x² - 4*x - 5.
РЕШЕНИЕ.
Для построения графика применим метод параллельного переноса.
Выделим из функция квадрат суммы аргумента.
Y = x² - 4*x - 5 = (x² - 2*(2*x) + 2²) - 2² - 5 = (x-2)² - 9 - это парабола х² с вершиной в точке А(2; -9).
Для построения графика используем значения х²: (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16).
Рисунок с графиком в приложении.
а) По графику находим значение: Y(0.5) ≈ - 6 3/4 ≈ - 6.75
Подставим х = 0,5 и вычисляем: y = 0.5² - 4*0.5 - 5 = 0.25 - 2 - 5 = - 6.75 -точное значение.
б) По графику находим приблизительные значения: х1 = - 1,5 и х2 = 5,5.
Точные значения можно получить решением квадратного уравнения:
х² - 4*х - 5 = 3, D=48, x1 = - 1.46, x2 = 5.46.
в) Точки пересечения с осью Х - корни функции - х1 = -1 и х2 = 5.
Или решив уравнение: Дискриминант - D = 36, √36 = 6, корни х1 = -1 и х2 = 5.
Положительна E(y)>0 при X∈(-∞;-1)∪(5;+∞). Отрицательна - между корнями функции. Отрицательна Е(у)<0 при Х∈(-1;5).
г) Убывает при Х∈(-∞;2) - при Х = 2 - минимум Ymin(2) = -9.
(x+y)² + xy = 4(x+y) - 3 ⇒ u² +v = 4u -4
2(x+y) = 5 - xy ⇒ 2u = 5 - v ⇔ v = 5 -2u ⇒
u² + 5 -2u -4u +3 = 0
u² - 6u +8 = 0 ⇔ (u - 2)(u-4) = 0
1) u = 2 ⇒ v = 1
x+y = 2 I y =2-x
xy =1 I x(2-x) =1 ⇒ x² -2x +1 =0 ⇔ (x-1)² =0 ⇒
x=1 ⇒ y =1
2) u =4 ⇒ v = -3 ⇒
x+y=4 I y = 4-x
xy = -3 I x(4-x) = -3 ⇒ x² -4x -3 =0
x1=2+√7 ⇒ y1=2-√7
x2= 2-√7 ⇒ y2=2+√7
ответ : (1;1) ; (2+√7 ; 2-√7) ; (2-√7 ; 2+√7)