1) составить уравнение касательной в точке :



2) исследовать функцию и построить график:



3) найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Объяснение:

1) F(x) = √(4 - 5*x),   Xo = 0

Y = F'(Xo)*(x - Xo) + F(Xo) - формула касательной.

Находим первую производную - k - наклон касательной.

F'(Xo) = F'(0) = - 5/4 = k

F(0) = 2

y = - 5/4*x + 2 - касательная - ответ.

Задача 2)

ДАНО:Y(x) = x³ -3*x² + 2

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Применим теорему Безу. х₁ *х₂ *х₃ = 2

Применим тригонометрическую формулу Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x+0,73)*(x-1)*(x-2,73)

Нули функции: Х₁ =-0,73, Х₂ =1,  Х₃ =2,73

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-0,73]U[1;2,73]  Положительная -Y(x)>0 X∈[-0,73;1]U[2,73;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   2

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -6*x = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =0    Х₅=2

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  0) =2.   Минимум - Ymin(X₅ =  2) =-2

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;0;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[0;2]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -6 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=1

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 1]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 1; +∞).

14. График в приложении.

Задача 3)

Ymin(0) = -3,  Ymax(2) = 9 - ответ.