1. В числовом наборе 9 чисел, их среднее арифметическое равно 6. К этому набору добавили еще одно число x. Найдите среднее арифметическое чисел получившегося набора, если: а) x = 6 ; б) x = 12. Без вычислений определите, увеличится или уменьшится среднее арифметическое в каждом случае.
2. В первом наборе 8 чисел, их среднее равно 3. Во втором наборе 12 чисел, их среднее равно 5. Наборы объединили в один набор. Найдите среднее арифметическое нового набора.
Важно! Среднее арифметическое объединенного набора расположено на числовой прямой между средними двух исходных наборов. Так получилось не случайно.
3. В числовом наборе наименьшее значение равно 2, а наибольшее равно 9. Может ли среднее арифметическое такого набора быть равно: а) 6; б) 5 1/3; в) 1; г) 9? Если может, приведите пример такого набора, если нет, – объясните, почему.
4. В числовом наборе 23 числа. Одно (какое-то) из чисел этого набора увеличили на 1. Как и на сколько изменилось среднее арифметическое этого набора?
5. Вычислите среднее арифметическое чисел: а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 1, 2, 3, 4, 10; в) 1, 2, 3, 4, 100;
г) 1, 2, 3, 4, 1000.
6. Вычислите среднее арифметическое двух числовых наборов 2, 4, 7, 8, 9 и 20, 40, 70, 80, 90.
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]
Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
Пусть скорость течения реки х км/ч
Тогда собственная скорость катера 4х
Время, которое катер плыл против течения до встречи с плотом, примем за у.
S = v t, где S - расстояние, v - скорость, t -время.
До встречи с плотом катер проплыл против течения и у(4х-х)=3ху
а плот за то же время
ху
Расстояние от А до В равно
3ху + ху=4ху
По терчению от места встречи с плотом до пункта В катер плыл со скоростью
4х+х=5х и затратил
3ху:5х= 3/5 у часов или 0,6 у часов
За это же время плот проплыл 0,6 ху
Всего с момента отправления из пункта А до времени прибытия катера в В плот пройдет
ху+0,6 ху=1, 6 ху
Это расстояние составляет от всего расстояния от А до В
1,6ху:4ху=0.4 часть или 2/5
ответ: К моменту возвращения катера в пункт В плот пройдет 2/5 пути от А до В.