1. Жардан құлаған тас 2 с ішінде су бетіне жетті. Жардың биіктігі қандай? Тастың соңғы жылдамдығының модулін анықтаңдар.
2. Бөлменің биіктігі 5 м. Шарик төбеден еденге дейін қанша уақытта
құлайды? Еденге 0,5 с ішінде жету үшін шарикке қандай жылдамдық
y' = 3x^2 - 3
Соответственно,
y' = 0 при x^2 = +- 1
y' < 0 при -1 < x < 1 - на этом интервале функция y убывает
y' > 0 при |x| > 1 - возрастает
То есть, функция y = x^3 - 3x
сначала возрастает до x = -1 {y(-1) = -1 + 3 = 2}
в точке (-1, 2) имеет локальный максимум
далее убывает до x = 1 {y(1) = 1 - 3 = -2}
локальный минимум в точке (1, -2)
далее возрастает
получается, что прямая y = a будет иметь с данной функцией
3 пересечения при -2 < a < 2 (пересекает все три участка возрастания/убывания)
2 пересечения при a = +-2 (пересекает один из участков и проходит через одну точку локального максимума/минимума)
1 пересечение при |a| > 2
Т.е. искомые значения параметра: |a| > 2
Для заданных точек это (х - 5) / -6 = (у + 3) / 1 - это так называемое каноническое уравнение.
Его можно преобразовать в три других:
а) в виде ax + by + c = 0,
где a = (y2-y1), b = (x1-x2), c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1).
Для заданных точек это х + 6у + 13 = 0.
б) в виде уравнения прямой "в отрезках": х / х₁ + у / у₁ = 1, где х₁ и у₁ - координаты точек на осях х и у, пересекаемых данной прямой:
х / (-13) + у / (-13/6) = 1.
с) в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом, которое имеет вид у = кх + в, где к = (у₂ - у₁) / (х₂ - х₁), в = у₁ - к*х₂ или в = у₂ - к*х₁:
у = (-1/6)х - (13/6).
2) Координаты середины отрезка АВ - ((х₂ - х₁) / 2; (у₂ - у₁) / 2):
(2; -2,5).
3) Уравнение окружности с центром в точке В радиусом, равным длине отрезка АВ имеет вид:
(х - х₂)² + (у - у₂)₂ = (АВ)².
Длина отрезка АВ равна √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²) = √((-1-5)² + (-2-(-3))²) = √(36 + 1) = √37 = 6,083.
Отсюда уравнение окружности (х + 1)² + (у + 2)² = 6,083².