10й класс, голову уже сломала, , найдите все значения а, при каждом из которых любое действительное х является решением неравенства х в квадрате+(3а-1)х+а больше нуля заранее большое : )
Дано: x²+(3a-1)x+a>0 и x∈(-∞;+∞) Найти: а-? Решение: y=x²+(3a-1)x+a - парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. коэффициент при х² равен 1, т.е. больше нуля. По условию, х- любое число, значит вся парабола лежит выше оси Ох. Следовательно, D<0 D=(3a-1)²-4*1*a=9a²-6a+1-4a=9a²-10a+1 9a²-10a+1<0 D=(-10)²-4*9*1=100-36=64=8² a₁=(10+8)/(2*9)=18/18=1 a₂=(10-8)/(2*9)=2/18=1/9 9(a-1)(a- 1/9)<0 + - + (1/9) (1)
Для того, чтобы выполнялось необходимое условие, требуется, чтобы график параболы находился над осью Ох. Это возможно, когда коэффициент при х² больше нуля и дискриминант квадратного уравнения меньше нуля
Найти: а-?
Решение:
y=x²+(3a-1)x+a - парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. коэффициент при х² равен 1, т.е. больше нуля.
По условию, х- любое число, значит вся парабола лежит выше оси Ох. Следовательно, D<0
D=(3a-1)²-4*1*a=9a²-6a+1-4a=9a²-10a+1
9a²-10a+1<0
D=(-10)²-4*9*1=100-36=64=8²
a₁=(10+8)/(2*9)=18/18=1 a₂=(10-8)/(2*9)=2/18=1/9
9(a-1)(a- 1/9)<0
+ - +
(1/9) (1)
ответ: a∈ (1/9; 1)
х²+(3а-1)х+а=0
D=(3а-1)²-4а=9а²-6а+1-4а=9а²-10а+1<0
9(а-1/9)(а-1)<0
(а-1/9)(а-1)<0
а∈(1/9;1)