Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение
\lambda^2-6\lambda+9=0λ
2
−6λ+9=0
имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения
y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}y(x)=C
1
∗e
3x
+C
∗x∗e
Далее применим метод вариации. Тогда
\begin{gathered} \left( < br / > \begin{array}{cc} < br / > e^{3 x} & e^{3 x} x \\ < br / > 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ < br / > \end{array} < br / > \right) * \left( < br / > \begin{array}{c} < br / > C_1'(x) \\ < br / > C_2'(x) \\ < br / > \end{array} < br / > \right)=\left( < br / > \begin{array}{c} < br / > 0 \\ < br / > 9 x^2-12 x+2 \\ < br / > \end{array} < br / > \right) \end{gathered}
⎝
⎛
<br/>
<br/>e
<br/>3e
e
x
3xe
+e
⎠
⎞
∗
<br/>C
′
(x)
=
<br/>0
<br/>9x
−12x+2
Откуда получим
C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), < br / > C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)C
(x)=−e
−3x
∗x∗(9x
−12x+2),<br/>C
(x)=e
∗(9x
−12x+2)
Интегрированием находим
C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+BC
(x
3
)+A,C
(2x−3x
)+B
Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )
y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}y(x)=(−e
)+C
)∗e
+(e
)∗x∗e
или
y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2y(x)=C
+x∗C
+x
Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы
\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.{
y
(0)=3
y(0)=0
Откуда
\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.{
C
=3
=0
б) (3х -2)(2х+6) = 6x^2 + 14x - 12
в) (7х – 3у)(3х –у) = 21x^2 + 3y^2 - 10xy
г) (х - 2)(х^2 – 3х + 5) = x^3 - 5x^2 + 11x - 10
2.а) х(х +5) – 2(х + 5) = (x+5)(x-2)
б) 6х – 6у + cx – cy = 6(x-y) + c(x-y) = (x-y)(6+c)
3.а) - 0,2х(3х^2+ 7)(2 – 4х^2) = -0,2x(-12x^4 + 6x^2 - 28x^2 + 14) = 2,4x^4 + 4,4x^2 - 2,8
б) 3с(с – 2) – (с – 3)(с – 1) = 3c^2 - 6c - c^2 + 4c - 3 = 2c^2 - 2c - 3
4.а) х2 – ху – 3х + 3у = x(x-3) - y(x-3) = (x-3)(x-y)
б) xy –xc – yz + cz + c – y = y(x-1) - c(x-1) - z(y-c) = (x-1)(y-c) - z(y-c) = (y-c)(x-1-z)
5. 2а(а +в – с) – 2в(а – в – с) + 2с(а – в + с) = 2a^2 + 2aв - 2ас - 2ав + 2в^2 + 2вс + 2ас - 2вс + 2c^2 = 2a^2 + 2в^2 + 2c^2
Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение
\lambda^2-6\lambda+9=0λ
2
−6λ+9=0
имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения
y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}y(x)=C
1
∗e
3x
+C
2
∗x∗e
3x
Далее применим метод вариации. Тогда
\begin{gathered} \left( < br / > \begin{array}{cc} < br / > e^{3 x} & e^{3 x} x \\ < br / > 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ < br / > \end{array} < br / > \right) * \left( < br / > \begin{array}{c} < br / > C_1'(x) \\ < br / > C_2'(x) \\ < br / > \end{array} < br / > \right)=\left( < br / > \begin{array}{c} < br / > 0 \\ < br / > 9 x^2-12 x+2 \\ < br / > \end{array} < br / > \right) \end{gathered}
⎝
⎛
<br/>
<br/>e
3x
<br/>3e
3x
<br/>
e
3x
x
3xe
3x
+e
3x
<br/>
⎠
⎞
∗
⎝
⎛
<br/>
<br/>C
1
′
(x)
<br/>C
2
′
(x)
<br/>
<br/>
⎠
⎞
=
⎝
⎛
<br/>
<br/>0
<br/>9x
2
−12x+2
<br/>
<br/>
⎠
⎞
Откуда получим
C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), < br / > C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)C
1
′
(x)=−e
−3x
∗x∗(9x
2
−12x+2),<br/>C
2
′
(x)=e
−3x
∗(9x
2
−12x+2)
Интегрированием находим
C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+BC
1
(x)=−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+A,C
2
(x)=e
−3x
(2x−3x
2
)+B
Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )
y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}y(x)=(−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+C
1
)∗e
3x
+(e
−3x
(2x−3x
2
)+C
2
)∗x∗e
3x
или
y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2y(x)=C
1
∗e
3x
+x∗C
2
∗e
3x
+x
2
Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы
\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.{
y
′
(0)=3
y(0)=0
Откуда
\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.{
C
2
=3
C
1
=0