17.18. Дан равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 16 см. Из его высот построен другой треугольник, а из
высот этого треугольника построен третий и т. д. Докажите,
что периметры этих треугольников образуют бесконечную
геометрическую прогрессию, и найдите значение суммы пе-
риметров этих треугольников.
а)
(a+1)(a+3)
2a(a-4)
Найдём недопустимые значения сначала.
Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому а≠0 и а≠4.
Все остальные значения допустимы.
Словесно это можно сформулировать так:
допустимы все рациональные числа, кроме а = 0 и а = 4.
математически в виде интервалов:
а∈(-∞; 0)U(0; 4)U(4; +∞)
б)
4с
(с-5)(2с-4)
аналогично: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому с≠5 и с≠2
допустимы любые рациональные значения переменной, кроме с=2 и с=5
математически:
с∈(-∞; 2)U(2; 5)U(5; +∞)
Составлю сначала формулу расчёта среднего арифметического:
(a + 4) / 2. Думаю, что по этой формуле вопросов не будет.
Составлю теперь формулу среднего геометрического или иначе среднего пропорционального этих чисел.
√4a = 2√a
и приравняю их, решим таким образом обычное иррациональное уравнение.
(a+4)/2 = 2√a
Я рекомендую решать уравнения такого типа путём последовательного возведения обеих его частей в квадрат, но прежде домножу обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя дроби в левой части.
a+4 = 4√a
Теперь выполню возведение обеих частей в квадрат.
(a+4)² = 16a
И далее имеем:
a² + 8a + 16 = 16a
a²- 8a + 16 = 0
По теореме Виета нахожу корни:
a1 = 4; a2 = 4
То есть, a = 4. При этом значении соблюдается вышеуказанное равенство.