2. В 2014 году в одном городе проживало 600 000 человек, в 2015 году численность населения увеличилась на 15%, а в 2016 году на 10% по сравнению с 2015 годом. Какова численность населения в 2016 году

Показать ответ

Ответ:

sweet690

22.11.2020 23:59

$4)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2+n}\\\\\\Neobxodimuj\ priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{1}{n^2+n}=0\ \ \Rightarrow \ \ ???$

Если предел общего члена ряда равен 0, то ответ о сходимости ряда дать невозможно. Поэтому ряд надо исследовать с других признаков. (Вот если бы предел общего члена ряда не был = 0, то вывод можно было бы сделать однозначно, ряд бы расходился.)

Применим признак сравнения:

$a_{n}=\dfrac{1}{n^2+n}$

По признаку сравнения: мажорантный ряд сходится, значит сходится и минорантный ряд ⇒ исходный ряд сходится .

$6)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}\\\\Neobx.\; priznak:\ \lim\limits _{n \to \infty} a_n= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}=\Big[0\cdot 0\; \Big]=0\ \ \Rightarrow \ \ \ ???\\\\sinx$

$tg\dfrac{\pi}{3n}\dfrac{\pi}{3n}\ \ (n\to +\infty )\ \ \Rightarrow \ \ \ a_{n}=\dfrac{1}{n}\cdot tg\dfrac{\pi}{3n}\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\pi}{3n}=\dfrac{\pi}{3n^2}=b_{n}\ -\ sxoditsya\; ,\\\\tak\ kak\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\ -\ sxoditsya$

Получили, что сходится минорантный ряд, а из этого факта не следует сходимость мажорантного ряда. Поэтому применим признак сравнения в предельной форме.

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_n}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot tg\frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\limits _{n\to \infty }\dfrac{\frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{3n}}{\frac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi }{3}\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$8)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }3^{n}\cdot sin\dfrac{\pi}{4^{n}}\\\\sin\dfrac{\pi}{4^{n}}$

$\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{3^{n}\cdot sin\frac{\pi}{4^{n}}}{(3/4)^{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{3^{n}\cdot (\pi/4^{n})}{(3/4)^{n}}=\pi \ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся .

$7)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, ln\dfrac{n+3}{n+2}\\\\ln\dfrac{n+3}{n+2}=ln\Big(1+\dfrac{1}{n+2}\Big)\sim \dfrac{1}{n+2}\ \ \ (n\to \infty )\ \Rightarrow \\\\\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n+2}\ -\ rasxoditsya\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{ln(1+\frac{1}{n+2})}{\frac{1}{n+2}}= \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+2}}=1\ne 0\ \ \Rightarrow$