2 вариант
1. а) При каком а корни данного уравнения 3х+2ax-27=0 являются противоположными числами?
b) При каком значении а квадратное уравнение 4 х=-a=0 имеет единственный корень. [2]
2. Даны уравнения: 1) 2х2-9x-5=0; 2) 52-3y+6=0
3) 9x-12х+4=0
4) бх -х+2)2 = 4(х -4),
а) Определите, сколько корней имеет каждое уравнение.
b) Найдите корни, если они существуют. [5]
3. В уравнении - + 13х - q =0 один из корней равен -0.5 Найдите второй корень и коэффициент q [3]
4. Найдите значение выражения х 2 + x22 и не решая уравнения, где х н - корни
уравнения х- - 4x -3 =).
ПРИМЕР №1. Найти остаток от деления уголком.
Решение. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.
x6 + 2x5 - x3 + x x4 - 4x + 2
x6 - 4x3 + 2x2 x2
2x5 + 3x3 - 2x2 + x
3.
x6 + 2x5 - x3 + x x4 - 4x + 2
x6 - 4x3 + 2x2 x2 + 2x
2x5 + 3x3 - 2x2 + x
2x5 - 8x2 + 4x
3x3 + 6x2 - 3x
Целая часть: x + 2
Остаток: 3x2 + 6x - 3
ПРИМЕР №2.. Разделить многочлены столбиком.
Решение. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.
x3 - 2x2 + x + 3 - 2x - 3
x3 + 3/2x2 - 1/2x2
- 7/2x2 + x + 3
3.
x3 - 2x2 + x + 3 - 2x - 3
x3 + 3/2x2 - 1/2x2 + 7/4x
- 7/2x2 + x + 3
- 7/2x2 - 21/4x
25/4x + 3
4.
x3 - 2x2 + x + 3 - 2x - 3
x3 + 3/2x2 - 1/2x2 + 7/4x - 25/8
- 7/2x2 + x + 3
- 7/2x2 - 21/4x
25/4x + 3
25/4x + 75/8
- 51/8
Целая часть: - 1/2x2 + 7/4x - 25/8
Остаток: - 51/8
Введем подстановку t = cos (3x), где |t| меньше или равен 1, т.к. функция cosx является ограниченной снизу -1, сверху +1.
Тогда исходное уравнение перепишется следующим образом:
2t^2 - 5t - 3 = 0.
Сейчас перед нами обыкновенное квадратное уравнение. Находим дискриминант и корни, если они будут.
D = b^2 - 4ac,
D = 25 + 24 = 49,
D>0 и значит уравнение имеет два корня.
t1 = (-b - корень из D) / (2a),
t1 = (5 - 7) / 4 = -1/2;
t2 = (-b + корень из D) / (2a),
t1 = (5 + 7) / 4 = 3;
Вернемся к подстановке t = cos (3x):
1) cos (3x) = -1/2,
3x = ± (2pi) / 3 + 2pi*k, где k - целое число;
x = ± (2pi)/9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.
2) cos (3x) ≠ 3, т.к. |t| ≤ 1.
ответ: x = ± (2pi)/9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.