3.Постройте график у=х²-4х+3 и ответьте на следующие вопросы: -найдите область определения и область значений функции;
-найдите промежутки монотонности;
-найдите промежутки знакопостоянства;
-наибольшее(наименьшее) значение функции.

а) x⁴-17x²+16=0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

D = 289-4·1·16=289-64=225=15²

t₁ = (17-15)/2= 2/2=1

t₂ = (17+15)/2= 32/2=16

Обратная замена:

1) х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1)(х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

2) х² = 16

х² - 16 = 0

(х-4)(х+4) = 0

х₃ = -4; х₄ = 4

ответ: {-4; -1; 1; 4}

б) x⁴+15x²-16+0;

Замена: х² = t, где t≥0, тогда уравнение примет вид:

t² + 15t - 16 = 0

D = 225-4·1·(-16)=225+64=289=17²

t₁ = (-15-17)/2= - 322/2= -16 < 0

t₂ = (- 15+17)/2= 2/2=1

Обратная замена только t = 1:

х² = 1

х² - 1 = 0

(х-1)(х+1) = 0

х₁ = - 1; х₂ = 1

ответ: {-1; 1}

в) y⁴-2y³+y²-36=0;

(y⁴-2y³+y²) -36=0;

((y²)² - 2·y²·y + y²) - 6² = 0

(y²-y)² - 6² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b).

(y²-y - 6)(y²-y + 6) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y²-y - 6 = 0; и y²-y + 6 = 0

Решаем первое.

y²-y - 6 = 0;

По теореме Виета у₁ = 3; у₂ = - 2

Решаем второе.

y²-y + 6 = 0;

D = 1 - 4·1·6 = 1 -24 = - 23 <0 корней нет

ответ: {-2; 3}

г) y⁴ - y²- 4y-4 = 0

y⁴ - (y² + 4y+4) = 0

(у²)² - (y+2)² = 0

Применим формулу разности квадратов: a²-b²=(a-b)(a+b).

(у² - (у+2)) · (у²+у+2) = 0

(у² - у-2) · (у²+у+2) = 0

Получаем два квадратных уравнения:

y²- y - 2 = 0; и y²+ y + 2 = 0

Решаем первое.

y²- y - 2 = 0;

По теореме Виета у₁ = -1; у₂ = 2

Решаем второе.

y² + y + 2 = 0;

D = 1 - 4·1·2 = 1 -8 = - 7 <0 корней нет

ответ: {-1; 2}

Допустим, кусок веревки разрезали на 23 куска по 120 см (в этом случае нет кусков разной длины). Тогда длина мотка веревки равна L=23*120=2760 см. Чтобы получить наибольшее количество кусков, нужно разрезать веревку на куски по 115 см. Тогда количество кусков будет равно n=2760:115=24. Если бы длина веревки была меньше 2760 см, её не хватило бы на 24 куска. По условию задачи, моток верёвки разрезали на 23 куска, среди которых есть куски разной длины, поэтому вместо числа 2760 получится, как максимум, 2759, и наибольшее количество кусков будет равно 23.
ответ: 23