35
вам предложено создать новый набор монет номиналом 20 рублей, 25 рублей и 99 рублей. все монеты будут круглые и серебряного цвета, но разного диаметра.
исследователи выяснили, что идеальные монеты соответствуют следующим требованиям:
1) диаметры монет не должны быть меньше, чем 20мм, но не больше 55мм
2) учитывая монету, диаметр следующей монеты должен быть по крайней мере на 25% больше
3) оборудование чеканки может производить только монеты диаметром целого числа миллиметров (21мм допускается, а 21,6 нет)
вы должны начать с 20мм монеты и ваш выбор должен содержать как можно больше монет. каковы были бы диаметры монет в вашем наборе? заранее
Находим первую производную: .
f'(x) = 9x2+6x
или
f'(x) = 3x(3x+2)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3x(3x+2) = 0
Откуда:
x1 = -2/3
x2 = 0
(-∞ ;-2/3)(-2/3; 0)(0; +∞) f'(x) > 0 f'(x) < 0f'(x) > 0 функция возрастает
функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -2/3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2/3 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2х² - 10х - 32 ≥ 0
Решение системы двух неравенств не так просто, поэтому при нахождении корней достаточно сделать проверку.
Подставить корни в систему неравенств или подставить корни в уравнение
Так как
2х²-10х-32=2(х²-5х-16)
то применяем метод замены переменной
х²-5х-23=t ⇒ x²-5x=t+23
x²-5x-16=t+23-16=t+7
Уравнение примет вид
√t + √2·(t+7)=5
или
√2·(t+7) = 5 - √t
Возводим обе части уравнения в квадрат
При этом правая часть должна быть положительной или равной 0
( (5 - √t)≥0 ⇒√ t ≤ 5 ⇒ t ≤ 25)
2·( t + 7) = 25 - 10 √t + t
или
10·√t = 25 + t - 2t - 14
10·√t = 11 - t
Еще раз возводим в квадрат, при условии, что 11 - t ≥ 0 t ≤ 11
Получаем уравнение
100 t = 121 - 22 t + t², при этом t ≤ 11
t² - 122 t + 121 = 0
D=122²-4·121=14884 - 484 = 14400=120
t₁=(122-120)/2= 1 или t₂= (122+120)/2 = 121 не удовлетворяет условию ( t ≤ 11)
возвращаемся к переменной х:
х² - 5х - 23 = 1
х² - 5х - 24 = 0
D=25+96=121=11²
x₁=(5-11)/2=-3
х₂=(5+11)/2=8
Проверка
х = - 3 √(9 +15 - 23) + √2·(9 +15 - 16) = 5 - верно 1+4=5
х = 8 √(64 - 40 - 23) + √2·(64-40 -16) = 5 - верно 1+4=5
ответ. х₁=-3 х₂=8