Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида а1, а1+d,. a1 +2d, a1+3d, ..a1+(n-1)d то есть последовательность чисел (членов прогрессии) , каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии) : Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена: a(n) = a1 + (n-1)d
Примеры 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3 1, −1, −3, −5, −7 — арифметическая прогрессия с шагом −2 π,π,π,π — арифметическая прогрессия с шагом 0 Свойства Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: a(n) = a(n-1) + d { (n-1) и n -это маленькие значки при члене прогрессии а, обозначают номер члена прогрессии) } . а) 11, 22, 33, 44 Видно, что каждый раз к числу прибавляют 11 22-11 = 11 33 -22=11 44-33=11 то есть здесь d=11 Тогда А (n) = a(1) +(n-1)d a(1) = 11 - первый член d = 11 - разница между двумя соседними членами прогрессии A(n) = a(1) +(n-1)d = 11 + (n-1)*11 = 11 + 11n - 11 = 11n так же и в б) б) 20, 17, 14, 11, 8 17 - 20 = - 3 14 - 17 = - 3 d= - 3 A(n) = a(1) +(n-1)d = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n +3 = 23 - 3n в) -1, -6, -11, -16 (-6) - (-1) = -6 + 1 = -5 (-11) - (-6) = - 11 + 6 = -5 d = -5 a(n) = a(1) + (n-1)d = (-1) + (n-1) * (-5) = -1 -5n + 5 = 4 - 5n
а1, а1+d,. a1 +2d, a1+3d, ..a1+(n-1)d
то есть последовательность чисел (членов прогрессии) , каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии) :
Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
a(n) = a1 + (n-1)d
Примеры
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3
1, −1, −3, −5, −7 — арифметическая прогрессия с шагом −2
π,π,π,π — арифметическая прогрессия с шагом 0
Свойства
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
a(n) = a(n-1) + d { (n-1) и n -это маленькие значки при члене прогрессии а, обозначают номер члена
прогрессии) }
.
а) 11, 22, 33, 44
Видно, что каждый раз к числу прибавляют 11
22-11 = 11
33 -22=11
44-33=11
то есть здесь d=11
Тогда
А (n) = a(1) +(n-1)d
a(1) = 11 - первый член
d = 11 - разница между двумя соседними членами прогрессии
A(n) = a(1) +(n-1)d = 11 + (n-1)*11 = 11 + 11n - 11 = 11n
так же и в б)
б) 20, 17, 14, 11, 8
17 - 20 = - 3
14 - 17 = - 3
d= - 3
A(n) = a(1) +(n-1)d = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n +3 = 23 - 3n
в) -1, -6, -11, -16
(-6) - (-1) = -6 + 1 = -5
(-11) - (-6) = - 11 + 6 = -5
d = -5
a(n) = a(1) + (n-1)d = (-1) + (n-1) * (-5) = -1 -5n + 5 = 4 - 5n
4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0
4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0
- 4sin²x - 11sinx - 7 = 0
Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:
-4у² - 11у - 7 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;
y_2=(-√9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.
Первый корень отбрасываем (больше 1)
sinx = -1 х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).
2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0
Делим обе части уравнения на cos^2x:
3tg²x + 8tgx + 4 = 0 Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;
y_2=(-√16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.
Обратная замена: tgx₁ = -2/3 х₁ = πn - arc tg(2/3) = πn - 0.5880026.
tgx₂ = -2 х₂ = πn - arc tg(2) = πn - 1.107149.
Остальные примеры решаются аналогично.