6. Из круга, радиуса R = 18 см вырезан круговой сектор, опирающийся на центральный угол ⦟МОН = 60°. Найдите отношение площади круга к площади данного сектора.
Повернём квадрат так, чтобы наименьшее из записанных чисел оказалось в правом нижнем углу. Пусть оно равно x. Тогда в левом нижнем углу и правом верхнем углу должны быть записаны числа вида ax и bx, где a и b – некоторые натуральные числа, для определённости a > b, иначе можно отразить квадрат относительно диагонали. Число в левом верхнем углу не может делиться на x (иначе на диагонали будет пара, в которой одно число делится на другое), тогда это какой-то общий делитель чисел ax и bx, обозначим его как d.
Заметим, что x ≥ 2 (иначе будет делящаяся пара чисел на диагонали); d ≥ x + 1 (по предположению, x – наименьшее число, и d не делится на x); bx ≥ 2d ≥ 2x + 2 (bx делится на d и bx > d, иначе, если bx = d, d будет делиться на x); ax > bx ≥ 3d ≥ 3x + 3. Значит, сумма всех записанных чисел не меньше x + 6d = x + d + 2d + 3d ≥ x + (x + 1) + (2x + 2) + (3x + 3) = 7x + 6.
Если в квадрате расставлены числа 2, 6, 12 и 3, то такая расстановка удовлетворяет условию и сумма чисел равна 23. Если какая-то существует какая-то подходящая расстановка с не большей суммой чисел, то 7x + 6 ≤ 23, x ≤ 2 (отсюда x = 2) и x + 6d = 2 + 6d ≤ 23, d ≤ 3 (отсюда d = 3). При этом ax и bx должны одновременно делиться на x и d, то есть на 2 и 3, значит, они делятся на 2 • 3 = 6, откуда bx ≥ 6, ax ≥ 6 • 2 = 12, и сумма чисел не меньше 23.
Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только в квадрате, то (-х, у) - тоже решение, Значит количество решений системы всегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этом случае y=A, и A=√3 или A=-√3. 1) Если A=√3, то y=x²+√3, (x²+√3)²+x²=3 x⁴+(2√3+1)x²=0 x²(x²+2√3+1)=0 x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет. Итак, в этом случае 1 решение.
2) Если A=-√3, то y=x²-√3, (x²-√3)²+x²=3 x⁴+(-2√3+1)x²=0 x²(x²-2√3+1)=0 x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения. Итак, в этом случае 3 решения.
Все это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется, как я сделал выше.
Повернём квадрат так, чтобы наименьшее из записанных чисел оказалось в правом нижнем углу. Пусть оно равно x. Тогда в левом нижнем углу и правом верхнем углу должны быть записаны числа вида ax и bx, где a и b – некоторые натуральные числа, для определённости a > b, иначе можно отразить квадрат относительно диагонали. Число в левом верхнем углу не может делиться на x (иначе на диагонали будет пара, в которой одно число делится на другое), тогда это какой-то общий делитель чисел ax и bx, обозначим его как d.
Заметим, что x ≥ 2 (иначе будет делящаяся пара чисел на диагонали); d ≥ x + 1 (по предположению, x – наименьшее число, и d не делится на x); bx ≥ 2d ≥ 2x + 2 (bx делится на d и bx > d, иначе, если bx = d, d будет делиться на x); ax > bx ≥ 3d ≥ 3x + 3. Значит, сумма всех записанных чисел не меньше x + 6d = x + d + 2d + 3d ≥ x + (x + 1) + (2x + 2) + (3x + 3) = 7x + 6.
Если в квадрате расставлены числа 2, 6, 12 и 3, то такая расстановка удовлетворяет условию и сумма чисел равна 23. Если какая-то существует какая-то подходящая расстановка с не большей суммой чисел, то 7x + 6 ≤ 23, x ≤ 2 (отсюда x = 2) и x + 6d = 2 + 6d ≤ 23, d ≤ 3 (отсюда d = 3). При этом ax и bx должны одновременно делиться на x и d, то есть на 2 и 3, значит, они делятся на 2 • 3 = 6, откуда bx ≥ 6, ax ≥ 6 • 2 = 12, и сумма чисел не меньше 23.
ответ. 23
1) Если A=√3, то y=x²+√3,
(x²+√3)²+x²=3
x⁴+(2√3+1)x²=0
x²(x²+2√3+1)=0
x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет.
Итак, в этом случае 1 решение.
2) Если A=-√3, то y=x²-√3,
(x²-√3)²+x²=3
x⁴+(-2√3+1)x²=0
x²(x²-2√3+1)=0
x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения.
Итак, в этом случае 3 решения.
Все это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется, как я сделал выше.