768. Докажите тождество: a) sin 2а - 2sin(a - 15°) × cos(a + 15°) = 0,5;
б) cos 6а + 2sin(3а – 15°) - sin( 3а+ 15°) = 0,5√3
в) sin4°×sin86°+0,5sin4°=cos2°×sin6°
г)cos18°×cos72°-sin63°×cos27°=-0,5

Показать ответ

Ответ:

rjdfy

17.12.2021 19:29

Найти по одному решению каждого уравнения - не проблема. А вот найти все натуральные решения - это намного более сложная задача.

Простейшие решения в первой задаче (1;1)), во второй (3;2), в третьей (1;1). Дальше можете не смотреть (а можете посмотреть).

1) Преобразуем так: (x²-1)(y²-1)=0; x²-1=0 или y²-1=0; x=1 или y=1.

То есть решения такие: (1;1), (1;2), (1;3), ..., (2;1), (3;1),...

2) Преобразуем так: x²-2y²=1. Это намного более сложная задача - частный случай так называемого уравнения Пелля. Заинтересуетесь - почитайте литературу на эту тему, только сначала попробуйте решить сами. Годится, как я уже писал, пара (3;2), остальные пары получаются из этой по такому правилу: если была пара (x;y), то следующая равна (3x+4y;2x+3y). Поэтому получаем второе решение (3·3+4·2;2·3+3·2)=(17;12). Можете построить сколько угодно решений по такому правилу.

3) Конечно, если m=n, то m^n=n^m. Поэтому мы уже имеем бесконечное множество решений. Но ими множество решений не исчерпывается. По крайней мере 2^4=4^2, то есть получили решения (2;4) и (4;2). Докажем, что других решений нет. Преобразуем так: $\sqrt[m]{m}=\sqrt[n]{n}.$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{1/x}.$ (x≥1)

$f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{(1/x)-1}+x^{1/x}\cdot \ln x\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)= x^{(1/x)-2}(1-\ln x);\ f(x)=0\Rightarrow x=e.$

Слева от e производная положительна, справа отрицательна, то есть слева от e функция возрастает, справа убывает.

$f(1)=1\sqrt[5]{5}\ldots,$ при этом все эти числа кроме f(1) больше 1. Поэтому кроме f(2)=f(4) все эти числа разные.

ответ в третьей задаче: (2;4), (4;2), (1;1), (2;2), (3;3),...

прощения, если не все было понятно - в будущем разберетесь))

0,0(0 оценок)

Ответ:

mdominik

21.05.2021 17:17

Как известно, число подмножеств множества, состоящего из N элементов, равно (это если учитывать пустое множество и само множество). Доказать это можно с метода математической индукции. Формула очевидна для маленьких N. Например, если в множестве один элемент, то подмножеств два - пустое и само множество. Пусть для N-элементного множества число подмножеств равно Добавим еще один элемент. Все подмножества нового множества разбиваются на две категории - те, которые не содержат новый элемент (их по предположению

штук) и те, которые его содержат (их тоже

штук, так как они могут быть получены из подмножеств первого типа добавлением нового элемента). Всего получаем

подмножеств, что и требовалось доказать.

В нашем случае нужно подсчитать количество элементов множества. Это 3, 4, 5 и 6 (два в квадрате меньше шести, семь в квадрате больше 39), всего 4 числа. Остается найти число

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра