(xy-3)/(x^2+y^2-16)=0 эквивалентно xy=3, x^2+y^2-16≠0. xy=3 - гипербола x^2+y^2=16 - окружность радиуса 4. График (xy-3)/(x^2+y^2-16)=0 представляет собой множество точек xy=3 c выколотыми точками, которые принадлежат и x^2+y^2=16. Найдем точки пересечения xy=3 и x^2+y^2=16. y=3/x. Поставим это во второе уравнение. x^2+(3/x)^2=16 x^4 - 16x^2 + 9 = 0 Пусть x^2=t. Тогда перейдем к квадратному уравнению t^2-16t+9=0 D=(-16)^2-4*9=220 t1,2=(16+-√220)/2=8+-√55 Оба корня больше 0. Поэтому уравнение имеет 4 решения для x: x1,2,3,4=+-√(8+-√55) Им соответствуют корни для y (подставляем в уравнение y=3/x): y1,2,3,4=+-√(8-+√55).
4x² + 49x + 4k = 0 12 x₁ + 8 x₂ = - 95 Решаем первое уравнение как самое обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант, учитывая, что член c равен 4k
D=49² - 4*4*4*k = 49² - 64k D≥0, k≤49²/64, k≤37,515625 (Дискриминант должен быть неотрицательным, чтоб был хотя бы один корень) Находим корни в общем виде, с неизвестным пока дискриминантом. x₁ = (-49-√D)/8, x₂ = (-49+√D)/8 Подставляем эти корни во второе уравнение 12( (-49-√D)/8) + 8 ((-49+√D)/8) = -95 -147 - 3√D - 98 + 2√D = - 190 -√D = 55 √D = - 55 (такого быть не может, корень из любого числа неотрицателен). Но при возведении в квадрат получаем D = (-55)² = 3025 Подставляем это значение в выражение для дискриминанта, полученное в самом начале решения D= 49² - 64k = 3025 Отсюда находим k k = - 624/64 = - 39/4 И это значение k соответствует условию неотрицательности дискриминанта k= - 39/4 ≤ 37,515625
Проверка Подставляем значение √D = - 55 в формулы для корней. x₁ = (-49+55)/8 = 3/4 x₂ = (-49-55)/8 = - 13 12*(3/4) + 8*(-13) = - 95
Все сходится! Надо учесть, что при вычислении первого корня берется - √D, то есть + 55, а для второго корня, наоборот +√D, то есть -55
xy=3 - гипербола
x^2+y^2=16 - окружность радиуса 4.
График (xy-3)/(x^2+y^2-16)=0 представляет собой множество точек xy=3 c выколотыми точками, которые принадлежат и x^2+y^2=16.
Найдем точки пересечения xy=3 и x^2+y^2=16.
y=3/x. Поставим это во второе уравнение.
x^2+(3/x)^2=16
x^4 - 16x^2 + 9 = 0
Пусть x^2=t. Тогда перейдем к квадратному уравнению t^2-16t+9=0
D=(-16)^2-4*9=220
t1,2=(16+-√220)/2=8+-√55
Оба корня больше 0. Поэтому уравнение имеет 4 решения для x:
x1,2,3,4=+-√(8+-√55)
Им соответствуют корни для y (подставляем в уравнение y=3/x):
y1,2,3,4=+-√(8-+√55).
12 x₁ + 8 x₂ = - 95
Решаем первое уравнение как самое обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант, учитывая, что член c равен 4k
D=49² - 4*4*4*k = 49² - 64k
D≥0, k≤49²/64, k≤37,515625 (Дискриминант должен быть неотрицательным, чтоб был хотя бы один корень)
Находим корни в общем виде, с неизвестным пока дискриминантом.
x₁ = (-49-√D)/8, x₂ = (-49+√D)/8
Подставляем эти корни во второе уравнение
12( (-49-√D)/8) + 8 ((-49+√D)/8) = -95
-147 - 3√D - 98 + 2√D = - 190
-√D = 55
√D = - 55 (такого быть не может, корень из любого числа неотрицателен).
Но при возведении в квадрат получаем
D = (-55)² = 3025
Подставляем это значение в выражение для дискриминанта, полученное в самом начале решения
D= 49² - 64k = 3025
Отсюда находим k
k = - 624/64 = - 39/4
И это значение k соответствует условию неотрицательности дискриминанта
k= - 39/4 ≤ 37,515625
Проверка
Подставляем значение √D = - 55 в формулы для корней.
x₁ = (-49+55)/8 = 3/4
x₂ = (-49-55)/8 = - 13
12*(3/4) + 8*(-13) = - 95
Все сходится!
Надо учесть, что при вычислении первого корня берется - √D, то есть + 55, а для второго корня, наоборот +√D, то есть -55