1). Очевидно, что в течение какого-то количества минут первый мудрец получит а монет, второй: а - 1 монету, третий: а - 2 монеты, ..., десятый получит а - 9 монет.
Тогда у первого станет: а+1 монета, у второго: (а+2)-1 = а+1 монета, у третьего: (а+3)-2 = а+1 монета и т.д. до 10-го мудреца, у которого станет: (а+10)-9 = а+1.
Таким образом, в сумме получим: 10*(а+1)
Но, так как мудрецов 10, и, в итоге, у каждого одинаковое количество монет, то всю эту сумму можно представить, как 10b.
Получили первое уравнение: 10*(а+1) = 10b, где а - количество минут, которое мудрецам выдавали по 9 монет, b - конечное равное количество монет у каждого мудреца.
2). Известно, что в исходном положении мудрецам было выдано:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 монет
В течение некоторого количества минут а, они получили еще 9а монет, что составило в сумме: 55 + 9а монет. Так как окончательное количество монет должно быть кратно 10, то второе уравнение:
55 + 9а = 10b
Решая систему, получим: 10а + 10 = 55 + 9a
10a - 9a = 55 - 10
a = 45 (мин.) b = 46 (монет)
ответ: да, смогут через 45 минут. У каждого мудреца на руках окажется по 46 монет.
а) Попробуем составить такую последовательность a₁, a₂, a₃..., чтобы сумма элементов была минимальна. Тогда a₁ = 1. a₂ либо 7a₁, либо a₁ + 5, но, так как a₁ + 5 < 7a₁, a₂ = a₁ + 5 = 6. Отсюда a₃ = a₂ - 5 = 1, a₄ = 6 и т. д. Тогда S = 68 * 1 + 67 * 6 = 470 > 420. Так как минимальная сумма 135 элементов больше 420, такого быть не может.
б) Да. Например, последовательность 100, 105, 110, 105. S = 100 + 105 + 110 + 105 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
в) Пусть количество членов n = 2. Тогда при a₁ = x a₂ = x + 5 или a₂ = 7x. В первом случае x + x + 5 = 420 ⇔ 2x = 415 ⇒ x = a₁ ∉ N, т. к. слева чётное число, а справа нечётное. Во втором случае x + 7x = 420 ⇔ 8x = 420 ⇔ x = 52,5 ⇒ x = a₁ ∉ N. Значит, n ≠ 2.
Пусть n = 3. Такая последовательность существует, например, 135, 140, 145. S = 135 + 140 + 145 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
Исходное положение:
1 мудрец - 1 монета; 2 мудрец - 2 монеты; ...; 10 мудрец - 10 монет.
1). Очевидно, что в течение какого-то количества минут первый мудрец получит а монет, второй: а - 1 монету, третий: а - 2 монеты, ..., десятый получит а - 9 монет.
Тогда у первого станет: а+1 монета, у второго: (а+2)-1 = а+1 монета, у третьего: (а+3)-2 = а+1 монета и т.д. до 10-го мудреца, у которого станет: (а+10)-9 = а+1.
Таким образом, в сумме получим: 10*(а+1)
Но, так как мудрецов 10, и, в итоге, у каждого одинаковое количество монет, то всю эту сумму можно представить, как 10b.
Получили первое уравнение: 10*(а+1) = 10b, где а - количество минут, которое мудрецам выдавали по 9 монет, b - конечное равное количество монет у каждого мудреца.
2). Известно, что в исходном положении мудрецам было выдано:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 монет
В течение некоторого количества минут а, они получили еще 9а монет, что составило в сумме: 55 + 9а монет. Так как окончательное количество монет должно быть кратно 10, то второе уравнение:
55 + 9а = 10b
Решая систему, получим: 10а + 10 = 55 + 9a
10a - 9a = 55 - 10
a = 45 (мин.) b = 46 (монет)
ответ: да, смогут через 45 минут. У каждого мудреца на руках окажется по 46 монет.
а) Попробуем составить такую последовательность a₁, a₂, a₃..., чтобы сумма элементов была минимальна. Тогда a₁ = 1. a₂ либо 7a₁, либо a₁ + 5, но, так как a₁ + 5 < 7a₁, a₂ = a₁ + 5 = 6. Отсюда a₃ = a₂ - 5 = 1, a₄ = 6 и т. д. Тогда S = 68 * 1 + 67 * 6 = 470 > 420. Так как минимальная сумма 135 элементов больше 420, такого быть не может.
б) Да. Например, последовательность 100, 105, 110, 105. S = 100 + 105 + 110 + 105 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
в) Пусть количество членов n = 2. Тогда при a₁ = x a₂ = x + 5 или a₂ = 7x. В первом случае x + x + 5 = 420 ⇔ 2x = 415 ⇒ x = a₁ ∉ N, т. к. слева чётное число, а справа нечётное. Во втором случае x + 7x = 420 ⇔ 8x = 420 ⇔ x = 52,5 ⇒ x = a₁ ∉ N. Значит, n ≠ 2.
Пусть n = 3. Такая последовательность существует, например, 135, 140, 145. S = 135 + 140 + 145 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
ответ: а) нет; б) да; в) 3