В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
hiohio
hiohio
14.03.2021 21:11 •  Алгебра

Алгебра 9 класс.
Докажите неравенство


Алгебра 9 класс. Докажите неравенство

Показать ответ
Ответ:
alenashafeeva
alenashafeeva
27.01.2022 13:30

(см. объяснение)

Объяснение:

\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+...+\dfrac{1}{n(n+3)}

Выполним запись:

\dfrac{A}{k}+\dfrac{B}{k+3}=\dfrac{1}{k(k+3)}
A\cdot(k+3)+B\cdot k=1
k\cdot(A+B)+3A=1

\left\{\begin{array}{c}A+B=0\\3A=1\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}B=-\dfrac{1}{3}\\A=\dfrac{1}{3}\end{array}\right;

Тогда верно, что:

\dfrac{1}{k(k+3)}=\dfrac{1}{3k}-\dfrac{1}{3(k+3)}

Значит неравенство можно переписать:

\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{21}+...+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{3(n+3)}

\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3(n+3)}

Верность этого неравенства очевидна для любого n\in\mathbb{N}, а значит и исходное неравенство верно.

Доказано!

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота