Берілген сан қандай екі тізбектей алынған натурал санның арасында орналасқан
​

1
2-2cos²x-6cosx+6=0
cos²x+3cosx-4=0
cosx=a
a²+3a-4=0
a1+a2=-3 U a1*a2=-4
a1=-4⇒cosx=-4<-1 нет решения
a2=1⇒cosx=1⇒x=2πk,k∈z
2
Разделим на cos^2x
1-2tgx-3tg²x=0
tgx=a
3a²+2a-1=0
D=4+12=16
a1=(-2-4)/6=-1⇒tgx=-1⇒x=-π/4+πk,k∈z
a2=(-2+4)/6=1/3⇒tgx=1/3⇒x=arctg1/3+πn,n∈z
3
sin(4x+3x)=-1
sin7x=-1
7x=-π/2+2πk,k∈z
x=-π/14+2πk/7,k∈z
4
Разделим на cos^2x
7tg²x-8tgx+1=0
tgx=a
7a²-8a+1=0
D=64-28=36
a1=(8-6)/14=1/7⇒tgx=1/7⇒x=arctg1/7+πk,k∈z
a2=(8+6)/14=1⇒tgx=1⇒x=π/4+πn,n∈z
5
8sin(x/2)cos(x/2)-3(1+cosx)=0
8sin(x/2)cos(x/2)-3*2cos²(x/2)=0
2cos(x/2)*(4sin(x/2)-3cos(x/2))=0
cos(x/2)=0⇒x/2=π/2+πn,n∈z⇒x=π+2πn,n∈z
4sin(x/2)-3cos(x/2)=0/cos(x/2)
4tg(x/2)-3=0
tg(x/2)=3/4
x/2=arctg0,75+πk,k∈z
x=2arctg0,75+2πk,k∈z

Введем подстановку t = cos (3x), где |t| меньше или равен 1, т.к. функция cosx является ограниченной снизу -1, сверху +1.

Тогда исходное уравнение перепишется следующим образом:

2t^2 - 5t - 3 = 0.

Сейчас перед нами обыкновенное квадратное уравнение. Находим дискриминант и корни, если они будут.

D = b^2 - 4ac,

D = 25 + 24 = 49,

D>0 и значит уравнение имеет два корня.

t1 = (-b - корень из D) / (2a),

t1 = (5 - 7) / 4 = -1/2;

t2 = (-b + корень из D) / (2a),

t1 = (5 + 7) / 4 = 3;

Вернемся к подстановке t = cos (3x): 

1) cos (3x) = -1/2,

3x = ± (2pi) / 3 + 2pi*k, где k - целое число;

x = ± (2pi)/9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.

2) cos (3x) ≠ 3, т.к. |t| ≤ 1.

ответ: x = ± (2pi)/9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.