Даны два взаимно простых натуральных числа т и n, а также число 0. Имеется калькулятор, который умеет выполнять лишь одну операцию: вычисление среднего арифметического двух целых чисел, если они имеют одинаковую четность. Докажите, что при этого калькулятора можно получить все натуральные числа от 1 до n.
Пусть чая по 220 р взяли x кг, а чая по 260 р взяли y кг. Тогда, общая стоимость чая равна 220х+260у. С другой стороны, такая же стоимость должна получиться, если взять 4 кг смеси по 230 р, а эта стоимость равна 230·4=920 (р). Таким образом, получаем уравнение для стоимости:
Так как сортов чая взяли по х и у кг, а общая масса смеси равна 4 кг, то получаем второе уравнение для массы:
Уравнения объединяем в систему и решаем:
Первое уравнение разделим на 20, из второго выразим y:
Подставляем в первое уравнение выражение для у:
ответ: 3 кг чая по цене 220 р и 1 кг чая по цене 260 р
По теореме Виета
x1*x2 = c/a = -4/2 = -2
x1 + x2 = -b/a = 5/2 = 2,5
Теперь решаем
1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2)/(x1^2*x2^2)
Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
x1^2 + x2^2 = x1^2 +2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 =
= 2,5^2 - 2(-2) = 6,25 + 4 = 10,25
Знаменатель:
x1^2*x2^2 = (x1*x2)^2 = (-2)^2 = 4
Дробь:
10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16
2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2*(x2^3+x1^3) = x1*x2*(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
= (-2)*2,5*(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = -5*((x1+x2)^2-3x1*x2) =
= -5*(2,5^2-3(-2)) = -5*(6,25+6) = -5*12,25 = -61,25 = -245/4