Даны векторы a=αm+βn и b=γm+δn, где |m|=k; |n|=l; (m,n)=φ. найти а) (λa+μb)(νa+τb); б) пр(νa+τb); в)cos(a,τb) 1.1 α = -5, β = -4, γ = 3, δ = 6, k = 3, l = 5, φ =5π/3, λ = -2, μ = 1/3, ν = 1, τ = 2

а) (-2·a+1/3·b)·(a+2·b)=2834

б) проекцию на вектор b: пр(a+2·b)=484/√139

в) cos(a, ^2·b)=-210/√46287

Пошаговое объяснение:

Векторы отметим жирным шрифтом.

Условие: Даны векторы a=-5·m-4·n и b=3·m+6·n,

где |m|=3; |n|=5; (m,^n)=5·π/3. Найти

а) скалярное произведение (-2·a+1/3·b)·(a+2·b);

б) проекцию на вектор b: пр(a+2·b);

в) угол между векторами cos(a, ^2·b).

Решение.

Сначала определим скалярное произведение векторов m и n:

(m,n)=|m| · |n| · cos(m,^n)=3·5·cos(5·π/3)=15·cos(300°)=15·0,5=7,5.

а) скалярное произведение

(-2·a+1/3·b)·(a+2·b)=

=(-2·(-5·m-4·n)+1/3·(3·m+6·n))·(-5·m-4·n+2·(3·m+6·n))=

=(10·m+8·n+m+2·n)·(-5·m-4·n+6·m+12·n)=(11·m+10·n)·(m+8·n)=

=11·(m,m)+88·(m,n)+10·(n,m)+80·(n,n)=11·|m|²+98·(n,m)+80·|n|²=

=11·3²+98·7,5+80·5²=99+735+2000=2834;

б) проекция на вектор b: пр(a+2·b):

|b|²=(b,b)=(3·m+6·n,3·m+6·n)=9·(m,m)+18·(m,n)+18·(n,m)+36·(n,n)=

=9·|m|²+36·(n,m)+36·|n|²=9·3²+36·7,5+36·5²=81+270+900=1251, то

|b|=√1251.

пр(a+2·b)=(a+2·b)·b/|b|=(-5·m-4·n+2·(3·m+6·n))·(3·m+6·n)/√1251=

=(-5·m-4·n+6·m+12·n)·(3·m+6·n)/√1251=(m+8·n)·(3·m+6·n)/√1251=

=(3·(m,m)+6·(m,n)+24·(n,m)+48·(n,n))/√1251=

=(3·|m|²+30·(n,m)+48·|n|²)/√1251=

=(3·3²+30·7,5+48·5²)/(3·√139)=(27+225+1200)/(3·√139)=

=1452/(3·√139)=484/√139;

в) угол между векторами cos(a, ^2·b):

|a|²=(a,a)=(-5·m-4·n,-5·m-4·n)=25·(m,m)+20·(m,n)+20·(n,m)+16·(n,n)=

=25·|m|²+40·(n,m)+16·|n|²=25·3²+40·7,5+16·5²=225+300+400=925,

то |a|=√925.

cos(a, ^2·b)=(a, 2·b)/(|a| ·|2·b|)=

=(-5·m-4·n, 2·(3·m+6·n))/(|a| ·2·|b|)=

=(-5·m-4·n, 6·m+12·n)/(√925·2·√1251)=

=(-30·(m,m)-60·(m,n)-24·(n,m)-48·(n,n))/(√925·2·√1251)=

=(-15·|m|²-42·(m,n)-24·|n|²)/(√925·√1251)=

=(-15·3²-42·7,5-24·5²)/(√925·√1251)=

=(-135-315-600)/(5·√37·√1251)= -1050/(5·√46287)= -210/√46287.