Если бы все эти числа были одинаковыми, все попарные суммы были бы равны, что противоречит условию.
Если бы среди этих чисел были бы только два различных числа a<b, а остальные были бы равны одному или другому, то мы могли бы получить три различные суммы при условии, что оба эти числа встречаются хотя бы дважды. Тогда мы получили бы суммы a+a=2a (четное число), a+b и b+b=2b (тоже четное число). Но по условию только одна сумма четная, поэтому этот случай мы отвергаем.
Если среди этих чисел три различных числа a<b<c, то два оставшихся обязаны совпасть с одним из этих чисел. В противном случае, если бы, скажем, числа a и b встречались дважды, то как и в предыдущем случае мы получили бы две четные суммы, что противоречило бы условию. Если бы мы имели ситуацию a=a=a<b<c, то мы могли бы составить четыре различные суммы a+a<a+b<a+c<b+c, что также противоречит условию. Невозможна и ситуация a<b<c=c=c из-за наличия четырех различных сумм a+b<a+c<b+c<c+c. Остается случай a<b=b=b<c. Мы снова имеем четыре суммы a+b, a+c, b+b, b+c, причем a+b<a+c<b+c, a+b<b+b<b+c. Вывод: для того, чтобы мы имели только три различные суммы, должно выполняться равенство a+c=b+b. Так как b+b=2b - четное число, то 2b=40, b=20. Но с другой стороны, 40 - это минимальная сумма, значит именно a+b должно равняться 40. Это противоречие доказывает, что и эта ситуация невозможна.
Если бы среди этих чисел было 4 или пять различных, то мы имели бы больше трех различных сумм. Например, если a<b<c<d, то
a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, то есть имеется как минимум 5 различных сумм.
Если бы все эти числа были одинаковыми, все попарные суммы были бы равны, что противоречит условию.
Если бы среди этих чисел были бы только два различных числа a<b, а остальные были бы равны одному или другому, то мы могли бы получить три различные суммы при условии, что оба эти числа встречаются хотя бы дважды. Тогда мы получили бы суммы a+a=2a (четное число), a+b и b+b=2b (тоже четное число). Но по условию только одна сумма четная, поэтому этот случай мы отвергаем.
Если среди этих чисел три различных числа a<b<c, то два оставшихся обязаны совпасть с одним из этих чисел. В противном случае, если бы, скажем, числа a и b встречались дважды, то как и в предыдущем случае мы получили бы две четные суммы, что противоречило бы условию. Если бы мы имели ситуацию a=a=a<b<c, то мы могли бы составить четыре различные суммы a+a<a+b<a+c<b+c, что также противоречит условию. Невозможна и ситуация a<b<c=c=c из-за наличия четырех различных сумм a+b<a+c<b+c<c+c. Остается случай a<b=b=b<c. Мы снова имеем четыре суммы a+b, a+c, b+b, b+c, причем a+b<a+c<b+c, a+b<b+b<b+c. Вывод: для того, чтобы мы имели только три различные суммы, должно выполняться равенство a+c=b+b. Так как b+b=2b - четное число, то 2b=40, b=20. Но с другой стороны, 40 - это минимальная сумма, значит именно a+b должно равняться 40. Это противоречие доказывает, что и эта ситуация невозможна.
Если бы среди этих чисел было 4 или пять различных, то мы имели бы больше трех различных сумм. Например, если a<b<c<d, то
a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, то есть имеется как минимум 5 различных сумм.
Вывод: условия задачи внутренне противоречивы.