Длина l (в сантиметрах) стального стержня при температуре t (в градусах ∘ C ) изменяется по закону l = 4 0 + 4 0 ⋅ 0 , 0 0 1 7 t . На сколько сантиметров изменится длина стержня, если его температура повысится от − 1 0 ∘ C до 6 0 ∘ C .
Область значения функции - это множество, которое может принимать y
1) y = x² - 3x.
График - парабола. Так как ветви вверх, то минимальное значение находится в вершине.
y = -D/4a, где D = b² - 4ac
D = 9 - 4 * 1 * 0 = 9 - 0 = 9
y(min) = -9/4 = -2.25
Значит, множество значений y: [-2.25; +∞)
б) y = √x
Так как корень из числа - число неотрицательное, то множество значений такой функции равно y: [0; +∞)
в) y = 2/x
График - гипербола, ветви которых расположены в I и III четвертях. Данная функция имеет точку разрыва второго рода в точке x = 0, где стремится к -∞ слева, а к +∞ справа. Таким образом, множество значений этой функции y = (-∞; 0) ∪ (0;+∞)
г) y = √(x²) = |x|.
Модуль - функция неотрицательная, таким образом, ее область значений такая же, как и в пункте б)
y ⊂ [0; +∞)
д) y = 1/(2x-3)
Точно такая же гипербола, как и в пункте в)
Объяснение такое же:
y ⊂ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
е) y = 2x^4 + 3x² + 1
Выполним замену x² = t, получим:
y(t) = 2t² + 3t + 1.
Снова парабола, ветви вверх, значит, минимальное значение в вершине. Подробнее я расписал пункт а)
Решение 1) y = 2*(x³ )+ 9*(x²) - 24*x - 7 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. f'(x) = 6x² + 18x - 24 Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 6x² + 18x - 24 = 0 Откуда: x₁ = - 4 x₂ = 1 (-∞ ;-4) f'(x) > 0 функция возрастает (-4; 1) f'(x) < 0 функция убывает (1; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 4 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума. 2) Найти стационарные точки функции y = cos 4x-2x*√3 Стационарные точки функции - это точки (значения аргумента), в которых производная функции первого порядка обращается в нуль. y` = ( cos 4x-2x*√3)` = - 4sin4x - 2√3 - 4sin4x - 2√3 = 0 4sin4x = - 2√3 sin4x = - √3/2 4x = (-1)^narcsin(-√3/2) + πk, k ∈Z 4x = (-1)^(n+1)arcsin(√3/2) + πk, k ∈Z 4x = (-1)^(n+1)*(π/3) + πk, k ∈Z x = (-1)^(n+1)*(π/12) + πk/4, k ∈Z
Объяснение:
Область значения функции - это множество, которое может принимать y
1) y = x² - 3x.
График - парабола. Так как ветви вверх, то минимальное значение находится в вершине.
y = -D/4a, где D = b² - 4ac
D = 9 - 4 * 1 * 0 = 9 - 0 = 9
y(min) = -9/4 = -2.25
Значит, множество значений y: [-2.25; +∞)
б) y = √x
Так как корень из числа - число неотрицательное, то множество значений такой функции равно y: [0; +∞)
в) y = 2/x
График - гипербола, ветви которых расположены в I и III четвертях. Данная функция имеет точку разрыва второго рода в точке x = 0, где стремится к -∞ слева, а к +∞ справа. Таким образом, множество значений этой функции y = (-∞; 0) ∪ (0;+∞)
г) y = √(x²) = |x|.
Модуль - функция неотрицательная, таким образом, ее область значений такая же, как и в пункте б)
y ⊂ [0; +∞)
д) y = 1/(2x-3)
Точно такая же гипербола, как и в пункте в)
Объяснение такое же:
y ⊂ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
е) y = 2x^4 + 3x² + 1
Выполним замену x² = t, получим:
y(t) = 2t² + 3t + 1.
Снова парабола, ветви вверх, значит, минимальное значение в вершине. Подробнее я расписал пункт а)
y = -D/4a; D = b² - 4ac = 1
y = -1/4 = -0.25
y ⊂ [-0.25; +∞)
1) y = 2*(x³ )+ 9*(x²) - 24*x - 7
1. Находим интервалы возрастания и убывания.
Первая производная.
f'(x) = 6x² + 18x - 24
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6x² + 18x - 24 = 0
Откуда:
x₁ = - 4
x₂ = 1
(-∞ ;-4) f'(x) > 0 функция возрастает
(-4; 1) f'(x) < 0 функция убывает
(1; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает
В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 4 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2) Найти стационарные точки функции y = cos 4x-2x*√3
Стационарные точки функции - это точки (значения аргумента), в которых производная функции первого порядка обращается в нуль.
y` = ( cos 4x-2x*√3)` = - 4sin4x - 2√3
- 4sin4x - 2√3 = 0
4sin4x = - 2√3
sin4x = - √3/2
4x = (-1)^narcsin(-√3/2) + πk, k ∈Z
4x = (-1)^(n+1)arcsin(√3/2) + πk, k ∈Z
4x = (-1)^(n+1)*(π/3) + πk, k ∈Z
x = (-1)^(n+1)*(π/12) + πk/4, k ∈Z