Совокупность всех первообразных функции называют неопределенным интегралом:
где — произвольная постоянная.
Тогда
Теорема: если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке , то на этом промежутке функция является первообразной функции
где — произвольная постоянная.
Тогда
Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции
Тогда
Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции
где — произвольная постоянная.
Найдем каждый интеграл по отдельности:
Получаем:
Таким образом, общий вид первообразных для функции имеет вид:
t₁=200 (сек.)
t₂=600 (сек.)
Объяснение:
Первоначальная высота столба воды 5 метров, по условию задачи должна остаться четвёртая часть воды.
5:4=1,25 (м)
Подставляем все данные в формулу:
1,25=5-√2*10*5(это под корнем) * 1/400 *t + 10/2*(1/400)² * t²
1,25=5-√100 *t/400 + 5*1/160000 * t²
1,25=5-10*t/400 + 5t²/160000
1,25=5-t/40+t²/32000
Умножить уравнение на 32000, чтобы избавиться от дроби:
40000=160000-800t+t²
-t²+800t-160000+40000=0
-t²+800t-120000=0/-1
t²-800t+120000=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac =640000-480000=160000 √D= 400
t₁=(-b-√D)/2a
t₁=(800-400)/2
t₁=400/2
t₁=200 (сек.)
t₂=(-b+√D)/2a
t₂=(800+400)/2
t₂=1200/2
t₂=600 (сек.)
Совокупность всех первообразных функции
называют неопределенным интегралом:
где
— произвольная постоянная.
Тогда![\displaystyle \int f(x) \, dx = \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx](/tpl/images/1350/7430/8b2fb.png)
Теорема: если функции
и
являются соответственно первообразными функций
и
на промежутке
, то на этом промежутке функция
является первообразной функции ![y = f(x) \pm g(x):](/tpl/images/1350/7430/7659d.png)
где
— произвольная постоянная.
Тогда![\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx =](/tpl/images/1350/7430/06889.png)
Теорема: если функция
является первообразной для функции
на промежутке
, а
— некоторое число, то на этом промежутке функция
является первообразной функции ![y = kf(x):](/tpl/images/1350/7430/19cce.png)
Тогда![\displaystyle \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx =](/tpl/images/1350/7430/f5301.png)
Теорема: если функция
является первообразной для функции
на промежутке
, а
— некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция
является первообразной функции ![y = f(kx + b):](/tpl/images/1350/7430/4b31b.png)
где
— произвольная постоянная.
Найдем каждый интеграл по отдельности:
Получаем:![\displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx =](/tpl/images/1350/7430/d7470.png)
Таким образом, общий вид первообразных для функции
имеет вид:
ответ:![\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C](/tpl/images/1350/7430/36303.png)
Использованные формулы интегрирования: