Доказать,что при всех допустимых значениях a выражение принимает одно и то же значение,то есть не зависит от а: (1 +tg²a)cos²a ​

1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?

2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3

Участник Знаний

1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.

\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2

Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.

2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}

Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14

\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\

\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}

Объяснение:

а) x€ (-∞;-4)U(2;+∞)

б) x€∅

Объяснение:

N°1:

Т. к. основание логарифма 2 > основание 1 => знак неравенства не меняется

D = b²-4ac = 4+32 = 36 = 6²

х1= 2; х2 = -4

(х-2)(х+4) > 0

х€ (-∞; -4)U(2;+∞)

ОДЗ: х²+2х > 0

х(х+2) > 0

Значит:

х€ (-∞; -2)U(0;+∞)

Получаем систему:

{x€ (-∞;-4)U(2;+∞)

{x € (-∞;-2)U(0;+∞)

Отсюда:

x€ (-∞;-4)U(2;+∞)

ответ: x€ (-∞;-4)U(2;+∞)

N°2:

Т. к основание логарифма 1/3 < основания 1 => знак неравенства меняется

2х+5 < х-4

х <-9

Значит:

х€ (-∞; -9)

ОДЗ:

{2х+5 > 0

{х-4 > 0

Получаем:

{х> -2,5

{х>4

Значит:

х€ (4;+∞)

Получаем систему:

{х€ (-∞;-9)

{х€ (4;+∞)

Отсюда: х€∅

ответ: х€∅