Докажите что при всех значениях X
значение выражения не зависит от Х

Объяснение:  * * * cos(-α) =cosα ,  sin2α=2sinα*cosα  и формулы

 приведения  * * *

1)  (  1 +sin(4π -(π/2 +α) )+ cos(2π-2α) ) / (2sinα*cosα - sinα) =

(  1 - cosα+ cos2α ) / (2sinα*cosα - sinα) =(2cos²α -cosα) / (2cosα -1)sinα=

(2cosα -1)cosα / (2cosα -1)sinα = ctgα .

2)  ( sin²α - 4sin²(α/2) ) / ( sin²α - 4+4sin²(α/2) ) =

( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4sin²(α/2) ) / ( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4(1 -sin²(α/2) ) =

- 4sin²(α/2) (1 - cos²(α/2) ) / - 4cos²(α/2)( 1 -sin²(α/2) ) =

 sin⁴(α/2)  / cos⁴(α/2)= tg⁴(α/2) .

3) (cos²α -sin²α ) / (1+sin2α)  =

|| * * * 1+sin2α= cos²α+sin²α+2sinαcosα =(cosα+sinα)² * * *  ||  

= (cosα -sinα )(cosα+sinα) /(cosα+sinα)²= (cosα -sinα)/(cosα+sinα)  

4)  ( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =

|| sinα -sinβ =2sin( (α -β)/2 ) *cos( (α +β)/2 )   ||

|| sinα+sinβ =2sin( (α+β)/2 ) *cos( (α -β)/2 )    ||

= 2 sinβcosα / 2 sinαcosβ =(cosα / sinα) *(sinβ/cosβ) = ctgα *tgβ =

ctgα / ctg β.

* * * * * * *  по  другому  * * * * * * *

( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) )  =

( sinαcosβ+cosα*sinβ - (sinαcosβ-cosα*sinβ) ) *

1/ ( sinαcosβ+cosα*sinβ+ sinαcosβ-cosα*sinβ ) =

2cosα*sinβ /2 sinαcosβ =ctgα /ctgβ  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

5) ( (1+cosx)/sinx )*(1+ ( (1 -cosx)/sinx )² ) =

( (1+cosx)/sinx )*(sin²x +1 -2cosx+cos²x )/sin²x  ) =

( (1+cosx)/sinx )*( 2(1 -cosx))/sin²x  ) = 2(1+cosx)(1-cosx) /sin³x =

2(1 - cos²x)  /sin³x =2sin²x/ sin³x = 2 / sinx .

* * * * * * *  по  другому  * * * * * * *

= ( 2cos²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2)  )*(1+ ( 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )² ) =

(cos(x/2) / sin(x/2) )*( 1 + sin²(x/2) / cos²(x/2)  ) =

(cos(x/2) /sin(x/2) )*( ( cos²(x/2) + sin²(x/2) ) /cos²(x/2)  )  =

(cos(x/2) /sin(x/2) )* ( 1 / cos²(x/2) )  =  1 /( cos(x/2)*sin(x/2) ) =2/sinx

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1) n=7

2) n=4

3) k=87

4) x=3

Объяснение:

Формула n!=1·2·3·...·n, исключение 0!=1, n!>0, n=0;1;2;3;...

1) n!=7(n-1)!

n·(n-1)!=7(n-1)!

Делим на (n-1)!>0

n=7

2) (n+17)!=420(n+15)!

(n+15)!(n+16)(n+17)=420(n+15)!

Делим на (n+15)!>0

(n+16)(n+17)=420

n²+33n+272=420

n²+33n-148=0

D=33²-4·1·(-148)=1089+592=1681=41²

n₁,₂=(-33±41)/2

n₁=(-33-41)/2=-37<0

n₂=(-33+41)/2=4

3) (k-10)!=77(k-11)!

(k-10)(k-11)!=77(k-11)!

k-10=77

k=87

4) (3x)!=504(3x-3)!

x≥3

3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)!=504(3x-3)!

Делим на 3(3x-3)!>0

x(3x-1)(3x-2)=168

9x³-9x²+2x-168=0

9x³-27x²+18x²-54x+56x-168=0

9x²(x-3)+18x(x-3)+56(x-3)=0

(x-3)(9x²+18x+56)=0

x-3=0

x=3

9x²+18x+56=0

D=324-224=100=10²

x₁=(-18-10)/18=-14/9<0

x₂=(-18+10)/18=-4/9<0