Докажите, что возрастающая или убывающая функция приобретает каждого своего значения только в одной точке ее области определения.
Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Пусть функция возрастает на всей области определения.

Предположим, что для некоторых значений аргумента и выполняется соотношение . Рассмотрим три ситуации:

1. - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

2. - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется

3. - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

Таким образом, при любых не может выполняться равенство . Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.

Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю соответствует условие , а случаю - условие . Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.