Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите равенство $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } } =2cos\frac{\pi }{2^{n+1} }$
Все это равенство n радикалов

Показать ответ

Ответ:

sergei66284

09.08.2021 22:00

Объяснение:

Формула:

$\frac{1+cos2x}{2} =cos^{2}x$

$S(n)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } }$

S(n) - n радикалов

Используем метод мат индукции

1) Покажем верность равенства при n=1, 2, 3

$S(1)=\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}=2cos\frac{\pi }{2^{2} }$

$S(2)=\sqrt{2+\sqrt{2} }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{4} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{8} } =2cos\frac{\pi }{8}=2cos\frac{\pi }{2^{3} }$

$S(3)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{8} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{8}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{16} } =2cos\frac{\pi }{16}=2cos\frac{\pi }{2^{4} }$

2) Предположим, что равенство верно при n=k

$S(k)=2cos\frac{\pi }{2^{k+1} }$

3) Покажем, , что равенство верно при n=k+1

$S(k+1)=\sqrt{2+S(k) }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1} } }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{2^{k+1} }}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2} } } =2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$

Ч.т.д.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Leonidch

09.03.2021 18:37

Найдите периметр прямоугольника если сумма трех его сторон равна m а площадь наибольшая...

usachiovavika

06.06.2022 10:43

Выполните действия: 2 ⁴√81+ ³√ -125 + ⁶√64...

supermichail29

06.06.2022 10:43

Лежит ли точка a(2; -1)на окружности заданной уравнением(x-2)^2+(y-3)^2=25...

znanija140

06.06.2022 10:43

Вычислить значение выражения. 2(3-sin pi/12*cos pi/12)...

DAYH228

06.06.2022 10:43

Из 100 кг какао-бобов может быть произведено м кг какао-порошка.каое число килограммов како-бобов требуется для производства 10 кг какао-порошка?...

Stasya13203

06.06.2022 10:43

Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м3 воды.сколько кубометров воды станет в бассейне через х сек.,если сейчас в нем 120 м3 воды? задайте формулой зависимость объема воды в бассейне...

оля1441

22.05.2023 16:03

При каких x имеет смысл выражения? Корень из 2x^2+5x-3...

Expert228666

09.05.2021 16:23

Напишите реакцию взаимодействия одной молекулы хлора с соединениями: а)пропионовый альдегид б)бутанон...

samira124

09.05.2021 16:23

Автомобиль проехал 100 км,израсходовав 6,9 кг бензина.средняя мощность,развиваемая двигателем,была равна 13 квт,а средняя скорость движения- 75 км/ч.найдите кпд двигателя автомобиля....

Ok7a

09.05.2021 16:23

Какой фактор среды оказывается главным в определенный период времени?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку