Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите справедливость формулы методом индукции (формула суммы первых n членов прогрессии)

Показать ответ

Ответ:

minat2

02.10.2020 06:07

Геометрическая прогрессия
$Sn= b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + ... +b_{1} q^{n}$

Утверждение
$Sn= b_{1} \frac{ q^{n+1}-1}{q-1}$

доказательство по методу полной математической индукции
1. Утверждение справедливо для n = 1:
$S_{1} = b_{1} + b_{1}q= b_{1} (1+q)$
Утверждение для n=1: $S_{1} = b_{1} \frac{ q^{2}-1}{q-1} = b_{1} \frac{ (q+1)(q-1)}{q-1} = b_{1} (q+1)$
2.
2.1 предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k
$S_{k} =b_{1} \frac{ q^{k+1} }{q-1}$
2.2 доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1
$S_{k+1} = (b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2}+ ...+ b_{1} q^{k}) + b_{1}q^{k+1} = S_{k} +b_{1}q^{k+1}$

доказательство, что $S_{k+1} =b_{1} \frac{ q^{k+2} }{q-1}$ :

$S_{k+1} = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1}$
$\\ = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1} \frac{q-1}{q-1} = b_{1} \frac{(q^{k+1}-1) +(q^{k+1}q -q^{k+1}) }{q-1}= b_{1} \frac{q^{k+2}-1}{q-1}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

GamerPro3922

03.06.2022 08:26

Выражение : x³ * (x⁵)⁷ : x¹¹ x²³ при каком значении a уравнение не имеет решений : (x⁷)⁵ *x¹⁴ a* (x¹⁶) ³ =2012...

yanademchenko38

03.06.2022 08:26

1. разложить на множители: 16a²-9 3x³-75x 2x²+4xy+2y² 2. выражение (6x-x²)²-x²(x-1(x+1)+6x(3+2x²)...

катя5089

03.06.2022 08:26

Составьте уравнение по условию : премиальный фонд в 72000 рублей решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну. в течение года 6 человек ушли из отдела,...

sashaopalko123

03.06.2022 08:26

1-(0,5х-15,8)=12,8-0,7х решите уравнение...

knestor

08.06.2021 11:59

Надо найдите производную функцию f(x) и вычислите ее значение в точке x0 1)f(x)=(x-2)*(x+3),x0=-1 ответ должен быть -1 2)f(x)=x+1/x-2,x0=1 ответ должен быть -3...

nastyakopylova7

08.06.2021 11:59

Из 200 кг ржи получаетс 180 кг муки.сколько килограммов ржи нужно заготовить для получения 270 кг муки?...

ася704

08.06.2021 11:59

Хотя бы несколько! 1) 2,4 * (-5/12) = 2) (корень из 6 / 3)^2 + (минус корень из 5 / 3)^2 = 3) cos a=0.6 sin b = -8/17 3п/2...

YTCoolboy55

22.09.2020 23:29

4 задание сократите дробь ну хотя бы одно решите...

alikhan12

14.07.2021 10:21

Найдите скорость изменения функции y=x-2...

SuperChelovek

14.07.2021 10:21

Из трёхзначных чисел наугад выбирабт число .какова вероятность того,что будет выбрано число,меньше 400 и деляшееся на 4 ,но не делящееся на 8? ответ округлите до сотых....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку