Докажите тождество: sina+sin3a+sin5a+sin7a=4cosa*cos2a*sin4a

Здесь следует воспользоваться тригонометрическими формулами перехода от суммы к произведению:
 
sina + sinb = 2sin(a + b)/2 * cos(a - b)/2
cosa + cosb = 2cos(a + b)/2 * cos(a - b)/2

sina + sin3a + sin5a + sin7a = (sin7a + sina) + (sin5a + sin3a) = 2sin4a * cos3a + 2sin4a * cosa = 2sin4a(cos3a + cosa) = 2sin4a * 2cos2a * cosa = 4cosa * cos2a * sin4a.

Части тождества равны.