Дві бригади монтажників працюючи разом виконують завдання за 8 год. За який час зможе виконати це завдання кожна бригада, прцюючи самостійно якщо одній бригаді на це потрібно на 12 год більше ніж іншій решить задачу составив систему уравнений
В случайном порядке было отобрано 25 студентов экономического факультета и выписан их возраст:
19 17 22 18 17
17 23 21 18 19
17 22 18 18 18
20 17 19 21 17
21 17 18 23 18
Составить статистическое распределение студентов по возрасту. Построить полигон и кумуляту. Найти эмпирическую функцию распределения и дать ее графическое изображение.
Решение. 1. По исходным данным составим статистическое распределение выборки.
Таблица 1.1.
xi
mi
2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
= .
В данном случае объем выборки n=25. Относительные частоты: =7/25=0,28; = 0,28; = 3/25=0,12; = 1/25=0,04; = 3/25=0,12; = =2/25=0,08.
Вычисленные относительные накопленные частоты указаны в пятом столбце таблицы 1.2.
Таблица 1.2.
варианты xi частоты mi относительные частоты, накопленные частоты, mxi относительные накопленные частоты
0,28 0,28
0,28 0,56
0,12 0,68
0,04 0,72
0,12 0,84
0,08 0,92
0,08
4. Для построения полигона распределения отложим на оси абсцисс варианты xi , на оси ординат – частоты mi.
Рис. 1.1.
Для построения кумуляты отложим на оси абсцисс варианты xi, на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.2.
5. Найдем эмпирическую функцию F*(x) по данному распределению выборки.
Объем выборки n=25.
Наименьшая варианта х1=17, следовательно F*(x)=0, при х≤17. Значение х<18, а именно х1=17 наблюдалось 7 раз, следовательно F*(x)=7/25=0,28, при 17<х≤18. Значения х<19, а именно х1=17, х1=18 наблюдались 7+7=14 раз, следовательно F*(x)=14/25=0,56, при 18<х≤19. Аналогично, F*(x)=17/25=0,68 при 19<х≤20; F*(x)=18/25=0,72, при 20<х≤21; F*(x)=21/25=0,84, при 21<х≤22; F*(x)=23/25=0,92, при 22<х≤23. Так как х7=23 – наибольшая варианта, следовательно F*(x)=1, при х >23.
Эмпирическая функция имеет вид
F*(x)=
Построим график этой функции
Рис. 1.3.
Пример 2. Наблюдения за жирностью молока у 50 коров дали следующие результаты (в %).
3,86 3,84 3,69 4,00 3,81 3,73 4,14 3,76
4,06 3,94 3,76 3,46 4,02 3,52 3,72
3,67 3,98 3,71 4,08 4,17 3,89 4,33
3,97 3,57 3,94 3,88 3,72 3,92 3,82
3,61 3,87 3,82 4,01 4,09 4,18 4,03
3,96 4,07 4,16 3,93 3,78 4,26 3,26
4,04 3,99 3,76 3,71 4,02 4,03 3,91
По этим данным построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами и изобразить его графически (построить полигон, гистограмму, кумуляту).
Решение. 1. Выполним разбиение данного ряда на интервалы,
n=50, xmax=4,33; xmin=3,46.
Число интервалов к=1 + 3,322lg50=1 + 3,322·1,7=6,6474≈7;
длина каждого интервала h=
за начало первого интервала примем величину хнач=хmin – 0,5h=3,46 – 0,5·0,14=3,46 – 0,07≈3,4.
2. Для построения гистограммы откладываем на оси абсцисс интервалы длинной h=0,14. На этих интервалах построим прямоугольники высотой, пропорциональной частоте. Для построения полигона середины верхних оснований соединим ломаной линией.
Рис. 1.4.
Для построения кумуляты на оси абсцисс отложим середины интервалов, а на оси ординат – накопленные частоты.
Объяснение:
4 часа 30 мин=270мин
6 часов 45 мин=405мин
1/270 часть бассейна нальет первый кран за 1 мин
1/405 часть бассейна нальет второй кран за 1 мин
1/405+1/270=5/810=1/162 часть бассейна нальют 2 крана за 1 мин
1:(1/162)=162 мин - время за которое 2 крана наполнят весь бассейн
первый кран был открыт 162 мин
162/270=3/5 - бассейна наполнит первый кран за 162 мин1-3/5=2/5 бассейна нужно наполнить второму крану
2/5 : 1/405=2*405/5*1=810/5=162 мин - Через столько времени бассейн наполнится.
ответ:162 мин. 1-3/5=2/5 бассейна нужно наполнить второму крану
2/5 : 1/405=2*405/5*1=810/5=162 мин - Через столько времени бассейн наполнится.
ответ:162 мин.
В случайном порядке было отобрано 25 студентов экономического факультета и выписан их возраст:
19 17 22 18 17
17 23 21 18 19
17 22 18 18 18
20 17 19 21 17
21 17 18 23 18
Составить статистическое распределение студентов по возрасту. Построить полигон и кумуляту. Найти эмпирическую функцию распределения и дать ее графическое изображение.
Решение. 1. По исходным данным составим статистическое распределение выборки.
Таблица 1.1.
xi
mi
2. Вычислим относительные частоты, и результаты вычислений внесем в третий столбец таблицы 1.2. Относительные частоты находим по формуле
= .
В данном случае объем выборки n=25. Относительные частоты: =7/25=0,28; = 0,28; = 3/25=0,12; = 1/25=0,04; = 3/25=0,12; = =2/25=0,08.
=0,28 + 0,28 + 0,12 + 0,04 + 0,12 + 0,08 + 0,08 = 1.
3. Вычислим накопленные частоты и результаты внесем в четвертый столбец таблицы 1.2.
mx1= m1=7; mx2= m1 + m2=7 + 7=14; mx3= m1 + m2 + m3 =7 + 7 +3=17; mx4= m1 + m2 + m3 + m4=7 + 7 + 3 + 1=18; mx5=7 + 7 + 3 + 1 + 3 = 21; mx6=21 + 2 = 23; mx7= 25.
Вычисленные относительные накопленные частоты указаны в пятом столбце таблицы 1.2.
Таблица 1.2.
варианты xi частоты mi относительные частоты, накопленные частоты, mxi относительные накопленные частоты
0,28 0,28
0,28 0,56
0,12 0,68
0,04 0,72
0,12 0,84
0,08 0,92
0,08
4. Для построения полигона распределения отложим на оси абсцисс варианты xi , на оси ординат – частоты mi.
Рис. 1.1.
Для построения кумуляты отложим на оси абсцисс варианты xi, на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.2.
5. Найдем эмпирическую функцию F*(x) по данному распределению выборки.
Объем выборки n=25.
Наименьшая варианта х1=17, следовательно F*(x)=0, при х≤17. Значение х<18, а именно х1=17 наблюдалось 7 раз, следовательно F*(x)=7/25=0,28, при 17<х≤18. Значения х<19, а именно х1=17, х1=18 наблюдались 7+7=14 раз, следовательно F*(x)=14/25=0,56, при 18<х≤19. Аналогично, F*(x)=17/25=0,68 при 19<х≤20; F*(x)=18/25=0,72, при 20<х≤21; F*(x)=21/25=0,84, при 21<х≤22; F*(x)=23/25=0,92, при 22<х≤23. Так как х7=23 – наибольшая варианта, следовательно F*(x)=1, при х >23.
Эмпирическая функция имеет вид
F*(x)=
Построим график этой функции
Рис. 1.3.
Пример 2. Наблюдения за жирностью молока у 50 коров дали следующие результаты (в %).
3,86 3,84 3,69 4,00 3,81 3,73 4,14 3,76
4,06 3,94 3,76 3,46 4,02 3,52 3,72
3,67 3,98 3,71 4,08 4,17 3,89 4,33
3,97 3,57 3,94 3,88 3,72 3,92 3,82
3,61 3,87 3,82 4,01 4,09 4,18 4,03
3,96 4,07 4,16 3,93 3,78 4,26 3,26
4,04 3,99 3,76 3,71 4,02 4,03 3,91
По этим данным построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами и изобразить его графически (построить полигон, гистограмму, кумуляту).
Решение. 1. Выполним разбиение данного ряда на интервалы,
n=50, xmax=4,33; xmin=3,46.
Число интервалов к=1 + 3,322lg50=1 + 3,322·1,7=6,6474≈7;
длина каждого интервала h=
за начало первого интервала примем величину хнач=хmin – 0,5h=3,46 – 0,5·0,14=3,46 – 0,07≈3,4.
Таблица 1.3.
жирность молока, интервал середина интервала, хi частота, mi относительная частота, накопленная частота, mxi относительная накопленная частота
3,40- 3,54 3,47 2/50=0,04 0,04
3,54-3,68 3,61 4/50=0,08 6 (2+4) 0,12
3,68-3,82 3,75 13/50=0,26 19 (6+13) 0,38
3,82-3,96 3,89 11/50=0,22 30 (19+11) 0,60
3,96-4,10 4,03 14/50=0,28 44 (30+14) 0,88
4,10-4,24 4,17 4/50=0,08 48 (44+4) 0,96
4,24-4,38 4,31 2/50=0,04 50 (48+2)
2. Для построения гистограммы откладываем на оси абсцисс интервалы длинной h=0,14. На этих интервалах построим прямоугольники высотой, пропорциональной частоте. Для построения полигона середины верхних оснований соединим ломаной линией.
Рис. 1.4.
Для построения кумуляты на оси абсцисс отложим середины интервалов, а на оси ординат – накопленные частоты.
Рис. 1.5.
Объяснение: