3y^2 < 2xy+3y^2 = 24, 3y^2<24, y^2<24/3 = 8, y< , кроме того, x и y натуральные, поэтому x>=1 и y>=1. 1<=y< ,
(докажем это строго, т.к. обе части этого неравенства положительны, а квадрат - это строго возрастающая функция на положительной полуоси, то , <=> , верное неравенство, значит и исходное неравенство в силу равносильности тоже верное) 1<=y<2,9; Возможные варианты только y=1 или y=2. 1) y=1, подставляем это в исходное уравнение, получаем 2x+ 3 = 24, <=> 2x=24-3 = 21, <=> x = 21/2, и икс не является натуральным. Поэтому случай y=1 не годится. 2) y=2, подставляем в исходное уравнение, 2x*2 + 3*(2^2) = 24, <=> 4x+12 = 24, <=> 4x=24-12 = 12, <=> x=12/4 = 3. ответ. x=3 и y=2.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
3y^2<24,
y^2<24/3 = 8,
y< ,
кроме того, x и y натуральные, поэтому x>=1 и y>=1.
1<=y< ,
(докажем это строго, т.к. обе части этого неравенства положительны, а квадрат - это строго возрастающая функция на положительной полуоси, то
, <=> , верное неравенство, значит и исходное неравенство в силу равносильности тоже верное)
1<=y<2,9;
Возможные варианты только y=1 или y=2.
1) y=1, подставляем это в исходное уравнение, получаем
2x+ 3 = 24, <=> 2x=24-3 = 21, <=> x = 21/2, и икс не является натуральным. Поэтому случай y=1 не годится.
2) y=2, подставляем в исходное уравнение,
2x*2 + 3*(2^2) = 24, <=> 4x+12 = 24, <=> 4x=24-12 = 12, <=> x=12/4 = 3.
ответ. x=3 и y=2.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.