Фирма «Рога и Копыта» плодит монстров. Каждый день монстры мутируют. Если сегодня монстр имеет m ручек и n ножек, то назавтра он будет иметь 2m–n ручек и 2n–m ножек. Монстр погибает, когда число ручек или ножек становится отрицательным. В данной задаче инвариантом является сумма количества ручек и ножек монстра, а полуинвариантом — разность между количеством ручек и ножек.
Для некоторого монстра значение инварианта равно 213⋅311⋅53, а полуинварианта 27. Через сколько дней этот монстр погибнет?
Область определения:
Тогда
Сократим на
получим
Графики функций
и ![y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}](/tpl/images/1359/2628/a5cf2.png)
совпадают за исключением одной точки.
На графике
нет точки с абсциcсой ![x= \frac{5}{7}](/tpl/images/1359/2628/b902b.png)
Прямая y=kx, проходящая через точку (
) будет иметь с графиком ровно одну общую точку
О т в е т.![k=\frac{49}{25}](/tpl/images/1359/2628/0f2d9.png)
2.
Область определения:
Сократим на
получим
Графики функций
и ![y=\frac{4|x|-1}{|x|-4x^2}](/tpl/images/1359/2628/2f133.png)
совпадают за исключением двух точек.
На графике
нет точек с абсциcсами ![x=\pm \frac{1}{4}](/tpl/images/1359/2628/8dae8.png)
Прямые y=kx, проходящие через точки (
) и (
) не будут иметь с графиком общих точек
Найдем k:
О т в е т.![k=\pm16](/tpl/images/1359/2628/df91d.png)
подставим 4а во второе уравнение системы. получим 4ху=2х²+2у²-2, упростим
-2ху+х²+у²=1; (х-у)²-1=0; (х-у-1)*(х-у+1)=0; 1)х=у+1 или 2)х=у-1 получили две прямые.
Если х=у+1,то 4у*(у+1)+2=а; 4у²+4у+2=а; (2у+1)²=а-1; Если а=1 ,то получим один корень, если а>1, то два корня. Если а<1, то корней нет.
Если рассмотреть первое уравнение, то при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (0, 0) и радиусом а√2, тогда система при а=0 имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи. При а≤0 уравнение не имеет смысла.
используем теперь результат выше и уточним ответ на задачу.
Если х=у+1, то у²+у²+2у+1=2а,у²+у+1/2=а; (у+1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4 два различных решения.
Если х=у-1, то у²+у²-2у+1=2а,у²-у+1/2=а; (у-1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4 два различных решения.