Теперь, используя график функции у = tg х в интервале 0 < х < π/2 можно построить график этой функции и в интервале — π/2 < х <0. Для этого воспользуемся тождествомtg (—φ) = — tg φ.Оно указывает на то, что график функции y = tg x симметричен относительно начала координат. Отсюда сразу же получается та часть графика, которая соответствует значениям — π/2 < х <0Функция y = tg x периодична с периодом π. Поэтому теперь для построения ее графика нам остается лишь продолжить периодически кривую, представленную на рисунке, влево и вправо с периодом π. В результате получается кривая, которая называется тангенсоидой.Тангенсоида хорошо иллюстрирует все те основные свойства функции у = tg x, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ.2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат).4) Функция у = tg x периодична с периодом π.5) В интервалахnπ < х < π/2 + nπфункция у = tg х положительна, а в интервалах— π/2 + nπ< х < nπотрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.6) В интервалах— π/2 + nπ < х < π/2 + nπ функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей.Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4 . Это объясняется тем, что в интервал, соединяющий точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена.Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться тождествомctg x = — tg (x + π/2)Оно указывает на следующий порядок построения графика:1) тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2;2) полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс.В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.Упражнения1.Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти наименьшие положительные корни уравнений:a) tg х = —3; б) tg х = 2; в) ctg х = —3; г) ctg x = 2.2. Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти все корни уравнений:a) tg х = \/3; б) ctg x = 1 / \/ 3
Объяснение:
1. Решите уравнения:
a) x² - 4x + 3 = 0
Δ=16-12=4 , √Δ=2
X1=(4-2)/2=1 ; x2=(4+2)/2=3
б) x² + 9x = 0
X(x+3)=0
X1=0 ; x+3=0
X2=-3
в) 7x² - x - 8 = 0
Δ=1+224=225 ; √Δ=15
X1=(1-15)/14=1 ; x2=(1+15)/14=16/14=8/7=1 1/7
г) 2x² - 50 = 0
2(x-25)=0
2(x-5)(x+5)=0
x-5=0 ; x-5=0
x1=5 x2=-5
2. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36см2. Найдите стороны прямоугольника
&
A=? ; b=? ; S=36cm² ,
длина прямоугольника:a=x ширина прямоугольника:b= x-5 S=a*b
S=(x-5)*x
36=x²-5x
X²-5x-36=0
Δ=25+144=169 ; √Δ=13
X1=(5-13)/2=-8/2=-4 ( длина не может быть отрицательной0
x2=(5+13)/2=18/2=9
a=9cm
b=(9-5)=4cm
OTBET: длина прямоугольника:a=9cm Ili 4cm
ширина прямоугольника: b=4cm Ili 9cm
3. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а: x² + x - a = 0
&
подставляем 4 в уравнение
4²+4-a=0
a=16+4=20
a=20 подставляем в уравнение x²+x-20=0
из формулы Вeта x1*x2=20 получаем: 4*x2=-20 == > x2= -5
OTBET: второй корень to:-5
4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: -5 и 8
&
X^2+bx+c=0
из формулы Вeта
x1*x2=c
c=(-5)*8=-40
x1+x2=b
b=(-5)+8=3
OTBET: квадратное уравнение принимает вид:
x^2-3x-40=0