Из села А по течению реки отправился плот. Через 4 часа после этого из этого же села по течению выехала моторная лодка, которая догнала плот через 15 км. Найдите скорость плота ( течения реки), если скорость моторной лодки на 12 км /ч больше скорости плота.
Объяснение:
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2), при условии 1/x^4 + 1/y^4 = 2
Выразим y через x
1/y^4 = 2 - 1/x^4 = (2x^4 - 1)/x^4
1/(2y^2) = √(2x^4 - 1)/(2x^2)
Область определения: x ≠ 0; y ≠ 0; x^4 > 1/2; |x| > 1/(кор. 4 ст. из 2) ≈ 0,84
В функцию z входит 1/(2y^2), поэтому я так и написал.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2x^2) + √(2x^4 - 1)/(2x^2) = (√(2x^4 - 1) + 1) / (2x^2)
Теперь находим производную функции уже одной переменной.
z ' = [8x^3/(2√(2x^4 - 1))*2x^2 - 4x(√(2x^4 - 1) + 1) ] / (4x^4) =
= [2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1] / x^3
В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.
2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1 = 0
(2x^4 - (2x^4 - 1)) / √(2x^4 - 1) = 1
1/√(2x^4 - 1) = 1
√(2x^4 - 1) = 1
2x^4 - 1 = 1
2x^4 = 2
x^4 = 1
x1 = -1; x2 = 1;
y^4 = x^4/(2x^4 - 1) = 1/(2-1) = 1; y1 = -1; y2 = 1.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2*1) + 1/(2*1) = 1
Критические точки: (-1; -1; 1); (-1; 1; 1); (1; -1; 1); (1; 1; 1).
При x = -2 < -1 будет
z ' = (2*16/√15 - √15 - 1) / (-8) ≈ 3,4/(-8) < 0
Функция падает.
При x = -0,9 € (-1; -1/(кор. 4 ст из 2) ) будет
z ' = (2*0,9^4/√(2*0,9^4-1) - √(2*0,9^4-1) - 1) / (-0,9)^3 =
= (1,3122/√0,3122 - √0,3122 - 1) / (-0,729) ≈ 0,8/(-0,73) < 0
Функция падает.
При x < -1 функция падает и при x > -1 функция тоже падает.
Значит, x = -1 - это критическая точка, но не экстремум.
Тоже самое с x = 1.
При x € (1/кор. 4 ст из 2); 1) функция растет, и при x > 1 функция тоже растет.
Поэтому у этой функции экстремумов нет.
1) x² - 2x - 48 = 0;
D = b² - 4ac;
D = (-2)²- 4 • 1 • (-48) = 4 + 192 = 196; √D = 14;
x = (-b ± √D)/(2a);
x1 = (2 + 14)/2 = 16/2 = 8;
x2 = (2 - 14)/2 = - 12/2 = -6;
x² - 2x - 48 (x - 8)(x + 6).
2) 2x²- 5x + 3 = 0;
D = (-5)² - 4 • 2 • 3 = 25 + 24 = 49; √D = 7;
x1 = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3;
x2 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -0,5;
2x² - 5x + 3 = 2(x + 0,5)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3).
3) 3x² - 10x + 3 = 0;
D = (-10)² - 4 • 3 • 3 = 100 - 36 = 64; √D = 8;
x1 = (10 + 8)/6 = 18/6 = 3;
x2 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3;
3x² - 10x + 3 = 3(x - 1/3)(x - 3) = (3x - 1)(x - 3).
4) 5x² - x - 42 = 0;
D = (-1)^2 - 4 • 5 • (-42) = 1 + 840 = 841; √D = 29;
x1 = (1 + 29)/10 = 30/10 = 3;
x2 = (1 - 29)/10 = -28/10 = -2,8;
5x² - x - 42 = 5(x + 2,8)(x - 3) = (5x +14)(x - 3).
5) 3x² - 8x + 5 = 0;
D = (-8)^2 - 4 • 3 • 5 = 64 - 60 = 4; √D = 2;
x1 = (8 + 2)/6 = 10/6 = 5/3;
x2 = (8 - 2)/6 = 6/6 = 1;
3x² -8x + 5 = 3(x - 5/3)(x - 1) = (3x - 5)(x - 1).
6) 36x² - 12x + 1 = 0;
D = (-12)^2 - 4 • 36 • 1 = 144 - 144 = 0;
x1 = x2 = 12/72 = 1/6;
36x²- 12x + 1 = 36(x - 1/6)(x - 1/6) = 6(x - 1/6) * 6(x - 1/6) = (6x - 1)(6x - 1).