Задача. Сколько действительных корней имеет уравнение
Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:
ответ запишите в виде: где — число корней, — номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень.
Решение. Вынесем общий множитель за скобки:
Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
Видя последнее уравнение, понимаем, что искать все его корни не нужно. Этого и не требуют в задании.
Рассмотрим функцию
1) Область определения:
2) Исследуем данную функцию на четность:
Функция не обладает свойством четности. Она ни четная, ни нечетная.
3) Определим нули функции.
3.1. Пересечение с осью
Невозможно дать точный ответ.
3.2. Пересечение с осью
Значит, — точка пересечения с осью
4) Найдем производную функции:
5) Определим критические точки функции, приравняв производную к нулю:
Определим точки экстремума и экстремумы функции:
Итак:
6) Изобразим схематически график функции, строго соблюдая все найденные точки, монотонность функции и симметрию линий около критических точек (см. вложение).
Выводы. Как видно из графика, из уравнения имеем три действительных корня, наименьший из которых находится в интервале Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Примем всю работу по покраске забора за единицу. Пусть производительность труда Ивана равна х, тогда производительность Андрея равна 4х. Их общая производительность равна (х+4х) и равна 5х. Чтобы найти время, за которое будет покрашен забор, нужно всю работу поделить на производительность. Таким образом, Андрей и Иван вместе покрасят забор за (1/(5х)) часов, что по условию равно 2 ч. Составляем уравнение: 1/10 - производительность труда Ивана. 1 : (1/10) = 1 * 10 = 10 ч - за столько часов может покрасить забор Иван.
Задача. Сколько действительных корней имеет уравнение![2x^{4} - 3x^{3} - 12x^{2} + 12x = 0?](/tpl/images/2009/5206/38a4b.png)
Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:
ответ запишите в виде:
где
— число корней,
— номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень.
Решение. Вынесем общий множитель
за скобки:
Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
Видя последнее уравнение, понимаем, что искать все его корни не нужно. Этого и не требуют в задании.
Рассмотрим функцию![f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12.](/tpl/images/2009/5206/c636f.png)
1) Область определения:![D(f) = (-\infty; ~ {+}\infty).](/tpl/images/2009/5206/702c6.png)
2) Исследуем данную функцию на четность:
Функция не обладает свойством четности. Она ни четная, ни нечетная.
3) Определим нули функции.
3.1. Пересечение с осью![x \colon](/tpl/images/2009/5206/93fc7.png)
Невозможно дать точный ответ.
3.2. Пересечение с осью![y \colon](/tpl/images/2009/5206/930e8.png)
Значит,
— точка пересечения с осью ![y.](/tpl/images/2009/5206/66471.png)
4) Найдем производную функции:
5) Определим критические точки функции, приравняв производную к нулю:
Определим точки экстремума и экстремумы функции:
Итак:
6) Изобразим схематически график функции, строго соблюдая все найденные точки, монотонность функции и симметрию линий около критических точек (см. вложение).
Выводы. Как видно из графика, из уравнения
имеем три действительных корня, наименьший из которых находится в интервале
Таким образом, уравнение
имеет четыре действительных корня.
ответ:![4, ~ 2.](/tpl/images/2009/5206/b0334.png)
Пусть производительность труда Ивана равна х, тогда производительность Андрея равна 4х. Их общая производительность равна (х+4х) и равна 5х. Чтобы найти время, за которое будет покрашен забор, нужно всю работу поделить на производительность. Таким образом, Андрей и Иван вместе покрасят забор за (1/(5х)) часов, что по условию равно 2 ч. Составляем уравнение:
1/10 - производительность труда Ивана.
1 : (1/10) = 1 * 10 = 10 ч - за столько часов может покрасить забор Иван.