К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 20 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

Раз значение выражения должно быть целым числом, то это это значит, что 2n + 12 должно делиться нацело на 2n. 2n + 12 и 2n делятся на 2n. Это значит, что и их разность будет по-прежнему делиться на 2n, то есть (2n + 12) - 2n = 12 делится нацело на 2n. Теперь дело осталось за малым. Очевидно, что 2n - делитель числа 12. Переберём все делители числа 12: 1; -1; 2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12. Сразу можем убрать все отрицательные делители - n по условию натурально. И решим ряд уравнений, откуда найдём n:
2n = 2, n = 1
2n = 3, n = 1.5 - не подходит, так как n натурально.
2n = 4, n = 2
2n = 6, n = 3
2n = 12, n = 6
Итак, при n = 1;2;3;6 выполняется наше условие. Задача решена.

Пусть первоначальная длина  а  прямоугольника  равна  Х.  Тогда , зная что его периметр P  равен 30, выразим ширину  b:

P =  2(а + b)
P =  2 а + 2b
2b  =  P - 2 а
b  =  (P - 2 а) / 2      =>     b  =  (30 - 2Х) / 2  = 15 -  Х  (ширина)
Далее длину прямоугольника увеличили на 5 см  =>  она стала равняться  Х + 5.
Ширину уменьшили на 3 см =>  она стала равняться  15-Х - 3 = 12 - Х.
При этом площадь уменьшилась на 8 см от первоначальной,
сначала площадь была   Х(15 - Х),    а  стала  Х(15 - Х) - 8.
Т.о.  можно составить уравнение:
(Х + 5)(12 - Х)  = Х(15 - Х) - 8
12Х - Х^2 + 60 - 5Х = 15Х - Х^2 - 8
12Х  + 60 - 5Х = 15Х - 8
7Х  + 60 = 15Х - 8
7Х  - 15Х  =  - 8 - 60
- 8Х = - 68
Х = 8,5  (длина)

15 - 8,5 = 6,5  (ширина)
ОТВЕТ:  длина  8,5  см,  ширина  6,5 см.