1) cosx≥0 - так как под корнем четной степени. sinx≥0, так как иначе Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы). 2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0. 3) Покажем, что других корней быть не может. Найдем производную функции Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2), а "вторая часть" постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2. Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max) и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2] Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1. Следовательно, других корней исходного уравнения нет.
y = x²
Это парабола с вершиной в точке (0;0), ветви которой направлены вверх. При x≤0 функция убывает, а при x≥0 - возрастает.
1) [-3;1] не подходит т.к. -3 < 0 < 1, то есть отрезок относится к промежутку, на котором функция убывает и возрастает.
2) [0;4] не подходит т.к. на этом промежутке функция возрастает (0 = 0 < 4)
3) [-2:4] не подходит т.к. -2 < 0 < 4.
4) [-3;-2] подходит т.к. -3 < -2 < 0, оба конца отрезка меньше нуля, а значит сам отрезок принадлежит промежутку (-∞;0].
ответ: 4) [-3;-2].
sinx≥0, так как иначе
Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы).
2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0.
3) Покажем, что других корней быть не может.
Найдем производную функции
Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной
постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2),
а "вторая часть"
постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2.
Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max)
и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2]
Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1.
Следовательно, других корней исходного уравнения нет.