Рассмотрим сначала случай (k - 1) = 0 <=> k = 1. Тогда уравнение примет вид 2^x = 3/4 и имеет один корень. Пусть k не равно 1. Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта: D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6. Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2. Находим корни: y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1); y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1). Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства: 1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0; 2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0. Решение первого очевидно: 1 < k <= 2. Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы: 1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0. 2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0. Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2. Решение второй системы: -2 < k < 1. Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:
D/4 = 4 - (k - 1)(k + 2) = -k^2 - k + 6.
Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство -k^2 - k + 6 >= 0, отсюда -3 <= k <= 2.
Находим корни:
y1 = (2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1);
y2 = (2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1).
Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:
1. 2 + √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0;
2. 2 - √(-k^2 - k + 6))/(k - 1) > 0.
Решение первого очевидно: 1 < k <= 2.
Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:
1. 0 < √(-k^2 - k + 6) < 2 и k - 1 > 0.
2. √(-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.
Решение первой системы: -3 <= k < -2 и 1 < k <= 2.
Решение второй системы: -2 < k < 1.
Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: -3 <= k < -2 и -2 < k <= 2.
sin x + cos x = 1;
Возведем правую и левую часть выражения в квадрат, тогда получим:
(sin x + cos x) ^ 2 = 1 ^ 2;
sin ^ 2 x + 2 * sin x * cos x + сos ^ 2 x = 1;
(sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) + 2 * sin x * cos x = 1;
Так как, по формуле тригонометрии sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 и 2 * sin x * cos x = sin (2 * x), тогда получим:
1 + 2 * sin x * cos = 1;
2 * sin x * cos x = 1 - 1;
2 * sin x * cos x = 0;
sin x * cos x = 0;
1) sin x = 0;
x = pi * n, где n принадлежит Z;
2) cos x = 0;
x = pi / 2 + pi * n, где n принадлежит Z.