Какой системе неравенств равносильно неравенство: loga f(x) ≤ loga g(x) при: 1) a > 1, 2) 0 < a < 1?

Показать ответ

Ответ:

VoinBogov

22.09.2022 22:40

$a+b+c=180^\circ\Rightarrow c = 180^\circ - a - b\\\sin a + \sin b + \sin c = \sin a + \sin b + \sin(180^\circ-a-b)=\\=\sin a + \sin b + \sin(180^\circ)\cos(a+b)-\cos(180^\circ)\sin(a+b)=\\=\sin a + \sin b + \sin (a + b)=2\sin({a+b\over 2})\cos({a-b\over2})+\sin(a+b)=\\=2\sin({a+b\over2})(\cos({a-b\over2})+\cos({a+b\over2}))=4\sin({a+b\over2})\cos({a\over2})\cos({b\over2})$
Нам достаточно найти максимум при некоторых значениях $a_1,\,b_1$ , а минимум будет иметь то же по модулю значения, но обратный знак (если есть некоторое максимальное значение при $a_1,\,b_1$ , то взяв $-a_1,\,-b_1$ мы получим, что синус поменяет знак на противоположный, а косинусы сохранят знак. Если же у минимума модуль больше, чем у максимума, то также поменяем знак и получим новый максимум)
Теперь осталось найти максимум.

$\sin(a)+\sin(b)+\sin(c)=2\sin({a+b\over2})\cos({a-b\over2})+\sin c\leq\\\leq2\sin({a+b\over2})+\sin(c)=2\cos({c\over2})+\sin c$
Найдем наибольшее значение функции $f(x)=2\cos({x\over2})+\sin x$ :
$f'(x)=-\sin({x\over2})+\cos x\\f'(x)\ \textless \ 0\Rightarrow 1-2\sin^2{x\over2}-\sin{x\over2}\ \textless \ 0\\\sin ({x\over2})=t,\,|t|\leq1\\2t^2+t-1\ \textgreater \ 0\\2(t-{1\over2})(t+1)\ \textgreater \ 0\\t\in({1\over2};1)\Rightarrow {x\over2}\in({\pi\over6}+2\pi k;{5\pi\over6}+2\pi k),\,k\in\mathbb{Z}\\x\in({\pi\over3}+4\pi k;{5\pi\over3}+4\pi k),\,k\in\mathbb{Z}$
На полученном интервале f(x) убывает. Кроме того, f(x) имеет период 4π.
Таким же образом приходим к интервалу на котором f(x) возрастает (просто меняем знак неравенства):
$|t|\leq1\\2(t-{1\over2})(t+1)\ \textless \ 0\\t\in(-1;{1\over2})\Rightarrow {x\over2}\in(-{7\pi\over6}+2\pi k;{\pi\over6}+2\pi k),\,k\in\mathbb{Z}\\x\in(-{7\pi\over3}+4\pi k;{\pi\over3}+4\pi k),\,k\in\mathbb{Z}$
Значит достаточно проверить значение в точках
$x={\pi\over3}+4\pi k,k\in\mathbb{Z}$
Как нетрудно убедится, в этих точках
$f(x)={3\sqrt3\over2}$
Таким образом,
$\sin a+\sin b+\sin c\leq{3\sqrt3\over2}$
Но при $a=b=c=60^\circ$ достигается это значение.

Значит максимальное значение: ${3\sqrt3\over2}$
Минимальное: $-{3\sqrt3\over2}$

0,0(0 оценок)

Ответ:

кирилл22895

10.02.2021 09:46

2. Разложить на множители:
а) x2 – 81=(x-9)(x+9); в) 36x4y2 – 169c2=(6yx2-13c)(6yx2+13c);
б) y2 – 4a + 4=(y-2)2; г) (x + 1)2 – (x – 1)2=2x*2=4x.

5. Выполнить действия:
а) (4a2 + b2)(2a – b)(2a + b)=(4a2 + b2)(4a2 - b2)=16a4 - b4;
б) (b2c3 – 2a2)(b2c3 + 2a2)=b4c6 – 4a4.

1.Преобразовать в многочлен:
а) (с – 7)2=с2 – 14c+49;
б) (2m + n)2=4m2 +4mn+ n2;
в) (6x – 5)(6x + 5)=36x2 - 25;
г) (3d + 2y)(3d – 2y)=9d2-4y2.

2. Разложить на множители:
а) c2 – 25=(c – 5)(c + 5); в) 64c2d4 – 4n6=(8cd2-2n3)(8cd2+2n3);
б) m2 + 8a + 16=(m+4)2; г) (x + 2)2 - (x – 2)2=2x*4=8x

3. Упростить выражение:
(x – 5)2 – 4x(x + 3)=x2 – 10x+25- 4x2-12x=-3x2-22x+25.

4. Решите уравнение:
а) (x – 2)(x + 2) – x(x + 5) = – 8
x2-4-x2-5x+8=0
5x=4 x=4/5 или 0,8;
б) 25y2 – 16 = 0
(5y – 4)(5y + 4)=0
y=4/5 y=-4/5 .

5. Выполнить действия:
а) (4y2 + 9)(2y – 3)(2y + 3)=(4y2 + 9)(4y2 - 9)=16y4-81;
б) (7m2 – 3n3)(7m2 + 3n3)=49m4-9n6.

6*. Докажите неравенство:x2 + 16y2>8xy – 1,4.
x2 - 8xy+ 16y2 >– 1,4
(x-4y)2>– 1,4 - верно при любых x и у т.к. а2 всегда > 0

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра