Для того чтобы доказать, что эти множества равны, надо показать, что оба условия эквивалентны друг-другу и из первого условия следует второе, а из второго - первое.
1) Если у треугольника все углы равны, то каждый из них равен 60°. Покажем, что из этого следует, что все биссектрисы - высоты. Положим, что BH на рисунке - биссектриса. Тогда она делит ∠ABC пополам. ∠HBC = 30°, ∠BCH = ∠BCA = 60° из условия. ⇒ ∠BHC = 90° ⇒ BH - высота. Так как это справедливо для всех биссектрис треугольника, то все биссектрисы - высоты.
2) Теперь предположим, что все высоты - биссектрисы. Покажем, что из этого следует, что все углы равны. По условию BH - биссектриса и высота. Значит ∠ABH = ∠HBC (так как биссектриса) и ∠BHC = ∠BHA = 90° (так как высота). А так как у треугольников ABH и HBC равны 2 угла и одна сторона - общая, то эти треугольники равные, а значит и равны остальные углы. ∠CAB = ∠ACB. Из того что ВСЕ высоты - биссектрисы, несмотря на то, из какого угла они опущены, то такое же рассуждение можно повторить для оставшихся высот. А значит все углы треугольника попарно равны друг другу ⇒ все углы равны.
Эврика! Это решение для тех, кто проходил уравнение с пропорцией. Суммарно производительность двух насосов после ремонта стала 2,8 единиц. Заполненный бассейн примем как выполненная на 100% работа. Первый насос после ремонта стал выдавать 1,2 единиц производительности, значит можно узнать, какой процент от всей работы он выполнял. Пропорция: 2,8=100%, 1,2=х% Переведем все цифры в неправильные дроби и оставим их такими до конечного результата (так не будет бесконечных десятичных дробей) и получим : 28/10=100%, 12/10=х%, отсюда х%=120:28/10=300/7 Если первый насос за 6 часов выполнил 300/7% от всей работы, то за сколько времени он выполнит 100% работы? Переведем часы в минуты, так как легче минуты сложить в часы, чем высчитывать их по дробям. 6 часов=360 минут Снова уравнение с пропорцией: 360 мин=300/7%, х мин=100%, отсюда х (мин)=36000(мин) :300/7(%)=252000/300=840(мин) Теперь полученные минуты переводим в часы: 840:60=14(часов) ответ: первый насос после ремонта заполнит бассейн самостоятельно за 14 часов.
1) Если у треугольника все углы равны, то каждый из них равен 60°. Покажем, что из этого следует, что все биссектрисы - высоты. Положим, что BH на рисунке - биссектриса. Тогда она делит ∠ABC пополам. ∠HBC = 30°, ∠BCH = ∠BCA = 60° из условия. ⇒ ∠BHC = 90° ⇒ BH - высота. Так как это справедливо для всех биссектрис треугольника, то все биссектрисы - высоты.
2) Теперь предположим, что все высоты - биссектрисы. Покажем, что из этого следует, что все углы равны. По условию BH - биссектриса и высота. Значит ∠ABH = ∠HBC (так как биссектриса) и ∠BHC = ∠BHA = 90° (так как высота). А так как у треугольников ABH и HBC равны 2 угла и одна сторона - общая, то эти треугольники равные, а значит и равны остальные углы. ∠CAB = ∠ACB. Из того что ВСЕ высоты - биссектрисы, несмотря на то, из какого угла они опущены, то такое же рассуждение можно повторить для оставшихся высот. А значит все углы треугольника попарно равны друг другу ⇒ все углы равны.
Суммарно производительность двух насосов после ремонта стала 2,8 единиц. Заполненный бассейн примем как выполненная на 100% работа. Первый насос после ремонта стал выдавать 1,2 единиц производительности, значит можно узнать, какой процент от всей работы он выполнял. Пропорция: 2,8=100%, 1,2=х% Переведем все цифры в неправильные дроби и оставим их такими до конечного результата (так не будет бесконечных десятичных дробей) и получим :
28/10=100%, 12/10=х%, отсюда х%=120:28/10=300/7
Если первый насос за 6 часов выполнил 300/7% от всей работы, то за сколько времени он выполнит 100% работы? Переведем часы в минуты, так как легче минуты сложить в часы, чем высчитывать их по дробям.
6 часов=360 минут
Снова уравнение с пропорцией:
360 мин=300/7%, х мин=100%,
отсюда х (мин)=36000(мин) :300/7(%)=252000/300=840(мин)
Теперь полученные минуты переводим в часы: 840:60=14(часов)
ответ: первый насос после ремонта заполнит бассейн самостоятельно за 14 часов.