Контрольна робота з алгебри 7-А клас Початковий та середній рівні навчальних досягнень 1. Які значення х не входять до області визначення функції А) 6 і – 1; Б) 4 і 8; В) –6 і 1; Г) 0; –1 і 6. 2. Через яку з наведених точок проходить графік функції у = х2 – 4? А) А(–4; 0); Б) В(0; –4); В) С(0; 6); Г) D(–2; 2). 3. Знайдіть координати точки перетину осі ОY і графіка функції у = х2 – 5х + 8. А) А(8; 0); Б) В(0; 8); В) С(0; 5); Г) D(–5; 0). 4. Яка з наведених функцій є лінійною? А) у = х2 + 3х; Б) у = 4х – 9; В) у = – 1; Г) у = 2х(х – 1). 5. При якому значенні k графік функції у = kх + 4 проходить через точку з координатами (–2;12)? А) 2; Б) –4; В) –6; Г) 8. 6. Графік якої з наведених функцій перетинає вісь ОХ? А) у = 6х – 5; Б) у = │х│+ 7; В) у = х2 + 3; Г) у = 1.
Достатній рівень навчальних досягнень 7. Знайдіть область визначення функції . 8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = –0,5х і у = 2 та знайдіть координати точки їх перетину.
Високий рівень навчальних досягнень 9. Побудуйте графік функції у = 2х + 1, якщо х < 0; у= 4 – х, якщо х ≥ 0. За графіком знайдіть: а) нулі функції; б) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; в) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.
1)f(x)= x^4-2x^2-3; Найдем производную f´(x)=( x^4-2x^2-3)´=( x^4)´-2(x^2)´-(3)´=4х³-4х-0=4х³-4х=4х (х²-1)=4х (х-1)(х+1) Найдем критические точки, т. е f´(x)=0 4х (х-1)(х+1)=0 х=0 или х=1 или х=-1 -__-1___+0-1___+→Х
f´(-2)= 4*(-2)(-2-1)(-2+1)= 4*(-2)(-3)(-1)<0 ( нас интересует знак, а не число) f´(-0,5)= 4*(-0,5)(-0,5-1)(-0,5+1)= 4*(-0,5)(-1,5)*0,5>0 f´(0,5)= 4*0,5*(0,5-1)(0,5+1)=4*0,5*(-0,5)*1,5<0 f´(2)= 4*2*(2-1)(2+1)=4*2*1*3>0 В точке х=-1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; В точке х=0 производная меняет знак с +на -, значит это точка максимума; В точке х=1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; 2) f(x)= x^2+3x /x+4 Найдем производную f´(x)=( x^2+3x /x+4)´=( x^2+3x)´(х+4)- (x^2+3x)( x+4)´/ (x+4)² =(2х+3)(х+4)-(х²+3х) *1/(х+4)²=(2х²+8х+3х+12-х²-3х) /(х+4)²=(х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)² Найдем критические точки, т. е f´(x)=0 (х²+8х+12)/(х+4)²=0 х²+8х+12=0 и Х+4≠0; х≠-4 Д=8²-4*1*12=64-48=16; х₁=-8+√16/2=-2; х₂=-8-√16/2=-6 т. е. (х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)², т. к. (х+4)²>0, нас интересует только знак, поэтому рассматриваем равносильное выражение (х+2)(х+6)
+__-6___--4--2___+→Х
f´(-7)= (-7+2)(-7+6)=-5*(-1)>0 f´(-5)= (-5+2)(-5+6)=-3*1<0 f´(-3)= (-3+2)(-3+6)=-1*3<0 f´(0)= (0+2)(0+6)=2*6>0 В точке х=-6 производная меняет знак с + на - значит это точка максимума; В точке х=-4 производная не меняет знак, значит это точка не является точкой экстремума ; В точке х=-2 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума; Удачи!
Если среди a, b,c есть одинаковые, то ответ очевиден (если, скажем, a=b, то выражение обращается в ноль при x=a=b). Пусть они все разные. Обозначив функцию, стоящую в левой части уравнения, через f(x), сосчитаем f(a)=(a-b)(a-c); f(b)=(b-a)(b-c); f(c)=(c-a)(c-b). Тогда f(a)·f(b)·f(c)= -(a-b)^2(b-a)^2 (c-a)^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.
Найдем производную
f´(x)=( x^4-2x^2-3)´=( x^4)´-2(x^2)´-(3)´=4х³-4х-0=4х³-4х=4х (х²-1)=4х (х-1)(х+1)
Найдем критические точки, т. е f´(x)=0
4х (х-1)(х+1)=0
х=0 или х=1 или х=-1
-__-1___+0-1___+→Х
f´(-2)= 4*(-2)(-2-1)(-2+1)= 4*(-2)(-3)(-1)<0 ( нас интересует знак, а не число)
f´(-0,5)= 4*(-0,5)(-0,5-1)(-0,5+1)= 4*(-0,5)(-1,5)*0,5>0
f´(0,5)= 4*0,5*(0,5-1)(0,5+1)=4*0,5*(-0,5)*1,5<0
f´(2)= 4*2*(2-1)(2+1)=4*2*1*3>0
В точке х=-1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;
В точке х=0 производная меняет знак с +на -, значит это точка максимума;
В точке х=1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;
2) f(x)= x^2+3x /x+4
Найдем производную
f´(x)=( x^2+3x /x+4)´=( x^2+3x)´(х+4)- (x^2+3x)( x+4)´/ (x+4)² =(2х+3)(х+4)-(х²+3х) *1/(х+4)²=(2х²+8х+3х+12-х²-3х) /(х+4)²=(х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)²
Найдем критические точки, т. е f´(x)=0
(х²+8х+12)/(х+4)²=0
х²+8х+12=0 и Х+4≠0; х≠-4
Д=8²-4*1*12=64-48=16; х₁=-8+√16/2=-2; х₂=-8-√16/2=-6
т. е. (х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)², т. к. (х+4)²>0, нас интересует только знак, поэтому рассматриваем равносильное выражение (х+2)(х+6)
+__-6___--4--2___+→Х
f´(-7)= (-7+2)(-7+6)=-5*(-1)>0
f´(-5)= (-5+2)(-5+6)=-3*1<0
f´(-3)= (-3+2)(-3+6)=-1*3<0
f´(0)= (0+2)(0+6)=2*6>0
В точке х=-6 производная меняет знак с + на - значит это точка максимума;
В точке х=-4 производная не меняет знак, значит это точка не является точкой экстремума ;
В точке х=-2 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;
Удачи!
f(a)=(a-b)(a-c); f(b)=(b-a)(b-c); f(c)=(c-a)(c-b). Тогда
f(a)·f(b)·f(c)= -(a-b)^2(b-a)^2 (c-a)^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.