а) Попробуем составить такую последовательность a₁, a₂, a₃..., чтобы сумма элементов была минимальна. Тогда a₁ = 1. a₂ либо 7a₁, либо a₁ + 5, но, так как a₁ + 5 < 7a₁, a₂ = a₁ + 5 = 6. Отсюда a₃ = a₂ - 5 = 1, a₄ = 6 и т. д. Тогда S = 68 * 1 + 67 * 6 = 470 > 420. Так как минимальная сумма 135 элементов больше 420, такого быть не может.
б) Да. Например, последовательность 100, 105, 110, 105. S = 100 + 105 + 110 + 105 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
в) Пусть количество членов n = 2. Тогда при a₁ = x a₂ = x + 5 или a₂ = 7x. В первом случае x + x + 5 = 420 ⇔ 2x = 415 ⇒ x = a₁ ∉ N, т. к. слева чётное число, а справа нечётное. Во втором случае x + 7x = 420 ⇔ 8x = 420 ⇔ x = 52,5 ⇒ x = a₁ ∉ N. Значит, n ≠ 2.
Пусть n = 3. Такая последовательность существует, например, 135, 140, 145. S = 135 + 140 + 145 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
а) Попробуем составить такую последовательность a₁, a₂, a₃..., чтобы сумма элементов была минимальна. Тогда a₁ = 1. a₂ либо 7a₁, либо a₁ + 5, но, так как a₁ + 5 < 7a₁, a₂ = a₁ + 5 = 6. Отсюда a₃ = a₂ - 5 = 1, a₄ = 6 и т. д. Тогда S = 68 * 1 + 67 * 6 = 470 > 420. Так как минимальная сумма 135 элементов больше 420, такого быть не может.
б) Да. Например, последовательность 100, 105, 110, 105. S = 100 + 105 + 110 + 105 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
в) Пусть количество членов n = 2. Тогда при a₁ = x a₂ = x + 5 или a₂ = 7x. В первом случае x + x + 5 = 420 ⇔ 2x = 415 ⇒ x = a₁ ∉ N, т. к. слева чётное число, а справа нечётное. Во втором случае x + 7x = 420 ⇔ 8x = 420 ⇔ x = 52,5 ⇒ x = a₁ ∉ N. Значит, n ≠ 2.
Пусть n = 3. Такая последовательность существует, например, 135, 140, 145. S = 135 + 140 + 145 = 420, каждый её член отличается от предыдущего на 5.
ответ: а) нет; б) да; в) 3
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
ОДЗ : -x² + 4x + 5 > 0
-(x² - 4x - 5) > 0 ⇔ x² - 4x - 5 < 0 ⇔
(x - 5)(x + 1) < 0
Метод интервалов
+++++++ (-1) -------- (5) ++++++++ >>> x
ОДЗ : x ∈ (-1; 5)
y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2 = log₂(-x² + 4x + 5) + log₂4 =
= log₂ ( ( -x² + 4x + 5) * 4) = log₂( -4x² + 16x + 20)
y = log₂( -4x² + 16x + 20) - логарифмическая функция с основанием 2 > 1
⇒ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. достаточно найти наибольшее значение выражения под логарифмом, чтобы найти максимум логарифмической функции.
f(x) = -4x² + 16x + 20 - квадратичная функция.
График - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.
Точка максимума - вершина параболы
Координата вершины параболы
x₀ = 2 ∈ ОДЗ ⇒
x₀ = 2 - точка максимума функции y = log₂(-x² + 4x + 5) + 2
Максимальное значение функции :y(2) = log₂(-2² + 4*2 + 5) + 2 = log₂9 + 2 = 2( log₂3 + 1)
ответ: точка максимума х₀ = 2