Меч работы гномов стоил 85 золотых. При покупке 5 таких мечей со скидкой 5% люди Нуменора привезли 1070 золотых. Сколько денег они увезут обратно после расчёта?

f(β) = 5 - 4cosβ - 3sinβ

Находим производную и приравниваем к нулю:

f'(β) = 4sinβ - 3cosβ = 0  ⇒  4sinβ = 3cosβ  ⇒  tgβ = 3/4

β = arctg(3/4) + πn, n ∈ Z

1) Сначала подставим β = arctg(3/4) + 2πk, k ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + 2πk) - 3sin(arctg(3/4) + 2πk) = 5 - 4•cos(arctg(3/4)) - 3sin(arctg(3/4)) = 5 - 4•(4/5) - 3•(3/5) = (25 - 16 - 9)/5 = 0 - это наименьшее значение

2) Подставляем β = arctg(3/4) + π + 2πm, m ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + π + 2πm) - 3sin(arctg(3/4) + π + 2πm) = 5 + 4cos(arctg(3/4)) + 3sin(arctg(3/4)) = 5 + 4•(4/5) + 3•(3/5) = 50/5 = 10 - это наибольшее значение

ответ: наибольшее значение выражения - 10, наименьшее значение - 0

Пусть а - первое число, тогда (а+1) - второе число, (а+2) - третье число.
а² - квадрат первого числа, (а+1)(а+2) - произведение второго и третьего чисел. По условию задачи квадрат меньшего из них на 47 меньше произведения двух других. Составляем уравнение
(а+1)(а+2)-a²=47;
a²+2a+a+2-a²=47;
3a+2=47;
3a=47-2;
3a=45;
a=45/3=15.
Первое число равно 15, второе число равно 15+1=16, третье число равно 15+2=17.
ответ: 15; 16; 17.
Схема задачи:
Дано:         а, а+1, а+2 - последовательные натуральные числа
Известно:  а² - квадрат меньшего числа, (а+1)(а+2) - произведение двух других, 47 - разность произведения двух других чисел и меньшего числа
Уравнение: (а+1)(а+2)-а²=47
Решение уравнения: см. выше
ответ: 15; 16; 17.