Можно ли составить паркет из копий произвольного треугольника? Попробуйте сделать это. К какому виду решетки сведется такое покрытие плоскости?

Решение
Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции 
y = (x + 1)/(x - 3), имеющие угловой коэффициент k = - 1, пересекают ось абсцисс.
 Найдем координаты точек, в которых касательные к графику имеют угловой коэффициент угловой коэффициент  k = - 1.
k = y` = [(x + 1)/(x - 3)]` = [x - 3 - (x + 1)] / (x - 3)² =
= - 4 /(x - 3)²
y` = - 1
- 4 / (x - 3)² = - 1
x² - 6x + 9 = 4
x² - 6x + 5 = 0
x₁ = 1
x₂ = 5
y₁ = - 1
y₂ = 3
Запишем уравнения этих касательных:
1) y = - (x - 1) - 1
2) y = - (x - 5) + 3
Касательные пересекают ось абсцисс, значит, y = 0
Таким образом, если у = 0, то
1) y = - (x - 1) - 1
- (x - 1) - 1 = 0
 x = 0
2) y = - (x - 5) + 3
- (x - 5) + 3 = 0
 x = 8
ответ:     (0; 0) ; (8; 0)

2)  y = √x     y₀ = 2
y = y(x₀) + y`(x₀)*(x - x₀)  - уравнение касательной
если у₀ = 2, то
2 = √x
x₀ = 4 абсцисса точки
а) y(x₀) = y(4) = √4 = 2
б) y` = 1/2√x
y` = 1/2√4 = 1/(2*2) = 1/4
в)  y = 2 + (1/4)*(x - 4)
y = 2 + (1/4)*x - (1/4)*4
y = 2 + (1/4)*x - 1
y = (1/4)*x + 1 - уравнение касательной в точке

x^2+6x+9<0,

(x+3)^2<0,

нет решений; (x+3)^2≥0, x∈R

 

-x^2+6x-5≥0,

a=-1<0 - ветви параболы направлены вниз, часть параболы над осью Ох (≥0) расположена между корнями,

-x^2+6x-5=0,

x^2-6x+5=0,

по теореме Виета х_1=1, x_2=5,

1≤x≤5,

x∈[1;5]

 

x^2-4x+3≥0,

a=1>0 - ветви параболы направлены вверх,

x^2-4x+3=0,

x_1=1, x_2=3 - часть параболы над осью Ох расположена вне корней,

x≤1, x≥3,

x∈(-∞;1]U[3;+∞)

 

x^2-6x+8≤0,

a=1>0 - ветви параболы - вверх,

x^2-6x+8=0,

x_1=2, x_2=4 - часть параболы под осью Ох (≤0) расположена между корнями,

2≤x≤4,

x∈[2;4]